MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsc1 16145
Description: The pair function maps 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc1 (𝐵𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)

Proof of Theorem xpsc1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 16141 . . . 4 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
21fveq1i 6151 . . 3 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜)
3 vex 3189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
4 fvi 6214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ‘𝑥) = 𝑥
6 elsni 4167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
76fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐴} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐴))
85, 7syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = ( I ‘𝐴))
9 velsn 4166 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐴))
108, 9sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)})
1110ssriv 3588 . . . . . . . . 9 {𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)}
12 xpss2 5192 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)} → ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)})
14 0ex 4752 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
15 fvex 6160 . . . . . . . . 9 ( I ‘𝐴) ∈ V
1614, 15xpsn 6364 . . . . . . . 8 ({∅} × {( I ‘𝐴)}) = {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
1713, 16sseqtri 3618 . . . . . . 7 ({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
1814, 15funsn 5899 . . . . . . 7 Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
19 funss 5868 . . . . . . 7 (({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → (Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → Fun ({∅} × {𝐴})))
2017, 18, 19mp2 9 . . . . . 6 Fun ({∅} × {𝐴})
21 funfn 5879 . . . . . 6 (Fun ({∅} × {𝐴}) ↔ ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
2220, 21mpbi 220 . . . . 5 ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴})
2322a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
24 fnconstg 6052 . . . 4 (𝐵𝑉 → ({1𝑜} × {𝐵}) Fn {1𝑜})
25 dmxpss 5526 . . . . . . 7 dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅}
26 ssrin 3818 . . . . . . 7 (dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅} → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜})
28 1n0 7523 . . . . . . . 8 1𝑜 ≠ ∅
2928necomi 2844 . . . . . . 7 ∅ ≠ 1𝑜
30 disjsn2 4219 . . . . . . 7 (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅
32 sseq0 3949 . . . . . 6 (((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}) ∧ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅) → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅)
3327, 31, 32mp2an 707 . . . . 5 (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅
3433a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑉 → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅)
35 1on 7515 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
3635elexi 3199 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
3736snid 4181 . . . . 5 1𝑜 ∈ {1𝑜}
3837a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑉 → 1𝑜 ∈ {1𝑜})
39 fvun2 6229 . . . 4 ((({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}) ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn {1𝑜} ∧ ((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅ ∧ 1𝑜 ∈ {1𝑜})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
4023, 24, 34, 38, 39syl112anc 1327 . . 3 (𝐵𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
412, 40syl5eq 2667 . 2 (𝐵𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
42 xpsng 6363 . . . . 5 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
4342fveq1d 6152 . . . 4 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = ({⟨1𝑜, 𝐵⟩}‘1𝑜))
44 fvsng 6404 . . . 4 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → ({⟨1𝑜, 𝐵⟩}‘1𝑜) = 𝐵)
4543, 44eqtrd 2655 . . 3 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
4635, 45mpan 705 . 2 (𝐵𝑉 → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
4741, 46eqtrd 2655 1 (𝐵𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cun 3554  cin 3555  wss 3556  c0 3893  {csn 4150  cop 4156   I cid 4986   × cxp 5074  ccnv 5075  dom cdm 5076  Oncon0 5684  Fun wfun 5843   Fn wfn 5844  cfv 5849  (class class class)co 6607  1𝑜c1o 7501   +𝑐 ccda 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-ord 5687  df-on 5688  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1o 7508  df-cda 8937
This theorem is referenced by:  xpscfv  16146  xpsfeq  16148  xpsfrnel2  16149  xpsff1o  16152  xpsle  16165  dmdprdpr  18372  dprdpr  18373  xpstopnlem1  21525  xpstopnlem2  21527  xpsxmetlem  22097  xpsdsval  22099  xpsmet  22100
  Copyright terms: Public domain W3C validator