MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpscfn 16159
Description: The pair function is a function on 2𝑜 = {∅, 1𝑜}. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscfn ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) Fn 2𝑜)

Proof of Theorem xpscfn
StepHypRef Expression
1 0ex 4760 . . . 4 ∅ ∈ V
2 1on 7527 . . . 4 1𝑜 ∈ On
3 1n0 7535 . . . . . 6 1𝑜 ≠ ∅
43necomi 2844 . . . . 5 ∅ ≠ 1𝑜
5 fnprg 5915 . . . . 5 (((∅ ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ∅ ≠ 1𝑜) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
64, 5mp3an3 1410 . . . 4 (((∅ ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
71, 2, 6mpanl12 717 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
8 df2o3 7533 . . . 4 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
98fneq2i 5954 . . 3 ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn 2𝑜 ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
107, 9sylibr 224 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn 2𝑜)
11 xpscg 16158 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})
1211fneq1d 5949 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵}) Fn 2𝑜 ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn 2𝑜))
1310, 12mpbird 247 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) Fn 2𝑜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  c0 3897  {csn 4155  {cpr 4157  cop 4161  ccnv 5083  Oncon0 5692   Fn wfn 5852  (class class class)co 6615  1𝑜c1o 7513  2𝑜c2o 7514   +𝑐 ccda 8949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-ord 5695  df-on 5696  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1o 7520  df-2o 7521  df-cda 8950
This theorem is referenced by:  xpsfeq  16164  xpsfrnel2  16165  xpslem  16173  xpsaddlem  16175  xpsvsca  16179  xpsle  16181  xpstopnlem1  21552  xpstopnlem2  21554  xpsxmetlem  22124  xpsdsval  22126  xpsmet  22127
  Copyright terms: Public domain W3C validator