MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpscfv 16138
Description: The value of the pair function at an element of 2𝑜. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscfv ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2𝑜) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem xpscfv
StepHypRef Expression
1 elpri 4173 . . . 4 (𝐶 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
2 df2o3 7519 . . . 4 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
31, 2eleq2s 2722 . . 3 (𝐶 ∈ 2𝑜 → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
4 xpsc0 16136 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
6 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
7 iftrue 4069 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
86, 7eqeq12d 2641 . . . . 5 (𝐶 = ∅ → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴))
95, 8syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
10 xpsc1 16137 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
12 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝐶 = 1𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
13 1n0 7521 . . . . . . . 8 1𝑜 ≠ ∅
14 neeq1 2858 . . . . . . . 8 (𝐶 = 1𝑜 → (𝐶 ≠ ∅ ↔ 1𝑜 ≠ ∅))
1513, 14mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝐶 = 1𝑜𝐶 ≠ ∅)
16 ifnefalse 4075 . . . . . . 7 (𝐶 ≠ ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐶 = 1𝑜 → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1812, 17eqeq12d 2641 . . . . 5 (𝐶 = 1𝑜 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵))
1911, 18syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 = 1𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
209, 19jaod 395 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
213, 20syl5 34 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 2𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
22213impia 1258 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2𝑜) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153  {cpr 4155  ccnv 5078  cfv 5850  (class class class)co 6605  1𝑜c1o 7499  2𝑜c2o 7500   +𝑐 ccda 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5688  df-on 5689  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1o 7506  df-2o 7507  df-cda 8935
This theorem is referenced by:  xpsfrn2  16146  xpslem  16149  xpsaddlem  16151  xpsvsca  16155
  Copyright terms: Public domain W3C validator