MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpscg 16212
Description: A short expression for the pair function mapping 0 to 𝐴 and 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpscg
StepHypRef Expression
1 0ex 4788 . . . 4 ∅ ∈ V
2 xpsng 6403 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
31, 2mpan 706 . . 3 (𝐴𝑉 → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
4 1on 7564 . . . 4 1𝑜 ∈ On
5 xpsng 6403 . . . 4 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵𝑊) → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
64, 5mpan 706 . . 3 (𝐵𝑊 → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
7 uneq12 3760 . . 3 ((({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩} ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩}) → (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵})) = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩}))
83, 6, 7syl2an 494 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵})) = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩}))
9 xpsc 16211 . 2 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
10 df-pr 4178 . 2 {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
118, 9, 103eqtr4g 2680 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198  cun 3570  c0 3913  {csn 4175  {cpr 4177  cop 4181   × cxp 5110  ccnv 5111  Oncon0 5721  (class class class)co 6647  1𝑜c1o 7550   +𝑐 ccda 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-ord 5724  df-on 5725  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1o 7557  df-cda 8987
This theorem is referenced by:  xpscfn  16213  xpstopnlem1  21606
  Copyright terms: Public domain W3C validator