MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfrnel 16144
Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 16153. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel (𝐺X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺

Proof of Theorem xpsfrnel
StepHypRef Expression
1 elixp2 7856 . 2 (𝐺X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
2 3ancoma 1043 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
3 df2o3 7518 . . . . . . . 8 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
43raleqi 3131 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
5 0ex 4750 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
6 1on 7512 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ On
76elexi 3199 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ V
8 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (𝐺𝑘) = (𝐺‘∅))
9 iftrue 4064 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
108, 9eleq12d 2692 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
11 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1𝑜 → (𝐺𝑘) = (𝐺‘1𝑜))
12 1n0 7520 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ≠ ∅
13 neeq1 2852 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1𝑜 → (𝑘 ≠ ∅ ↔ 1𝑜 ≠ ∅))
1412, 13mpbiri 248 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1𝑜𝑘 ≠ ∅)
15 ifnefalse 4070 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1𝑜 → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1711, 16eleq12d 2692 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1𝑜 → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
185, 7, 10, 17ralpr 4209 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
194, 18bitri 264 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
20 2onn 7665 . . . . . . . . . 10 2𝑜 ∈ ω
21 nnfi 8097 . . . . . . . . . 10 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2𝑜 ∈ Fin
23 fnfi 8182 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 2𝑜 ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Fin)
2422, 23mpan2 706 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ Fin)
25 elex 3198 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Fin → 𝐺 ∈ V)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ V)
2726biantrurd 529 . . . . . 6 (𝐺 Fn 2𝑜 → (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
2819, 27syl5rbbr 275 . . . . 5 (𝐺 Fn 2𝑜 → ((𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵)))
2928pm5.32i 668 . . . 4 ((𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵)))
30 3anass 1040 . . . 4 ((𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
31 3anass 1040 . . . 4 ((𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵)))
3229, 30, 313bitr4i 292 . . 3 ((𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
332, 32bitri 264 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
341, 33bitri 264 1 (𝐺X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  c0 3891  ifcif 4058  {cpr 4150  Oncon0 5682   Fn wfn 5842  cfv 5847  ωcom 7012  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  Xcixp 7852  Fincfn 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903
This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  16146  xpsff1o  16149
  Copyright terms: Public domain W3C validator