MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfrnel2 16146
Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 16153. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel2 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Proof of Theorem xpsfrnel2
StepHypRef Expression
1 xpsfrnel 16144 . 2 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵))
2 0ex 4750 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
32prid1 4267 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
4 df2o3 7518 . . . . . . . . 9 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
53, 4eleqtrri 2697 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2𝑜
6 fndm 5948 . . . . . . . 8 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = 2𝑜)
75, 6syl5eleqr 2705 . . . . . . 7 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → ∅ ∈ dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}))
8 xpsc 16138 . . . . . . . . 9 ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = (({∅} × {𝑋}) ∪ ({1𝑜} × {𝑌}))
98dmeqi 5285 . . . . . . . 8 dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = dom (({∅} × {𝑋}) ∪ ({1𝑜} × {𝑌}))
10 dmun 5291 . . . . . . . 8 dom (({∅} × {𝑋}) ∪ ({1𝑜} × {𝑌})) = (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌}))
119, 10eqtri 2643 . . . . . . 7 dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌}))
127, 11syl6eleq 2708 . . . . . 6 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → ∅ ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
13 elun 3731 . . . . . . 7 (∅ ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) ↔ (∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ ∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
142eldm 5281 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ↔ ∃𝑘∅({∅} × {𝑋})𝑘)
15 brxp 5107 . . . . . . . . . . 11 (∅({∅} × {𝑋})𝑘 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝑘 ∈ {𝑋}))
16 elsni 4165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 = 𝑋)
17 vex 3189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ V
1816, 17syl6eqelr 2707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ V)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝑘 ∈ {𝑋}) → 𝑋 ∈ V)
2015, 19sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (∅({∅} × {𝑋})𝑘𝑋 ∈ V)
2120exlimiv 1855 . . . . . . . . 9 (∃𝑘∅({∅} × {𝑋})𝑘𝑋 ∈ V)
2214, 21sylbi 207 . . . . . . . 8 (∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) → 𝑋 ∈ V)
23 dmxpss 5524 . . . . . . . . . 10 dom ({1𝑜} × {𝑌}) ⊆ {1𝑜}
2423sseli 3579 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) → ∅ ∈ {1𝑜})
25 elsni 4165 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ {1𝑜} → ∅ = 1𝑜)
26 1n0 7520 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ≠ ∅
2726neii 2792 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1𝑜 = ∅
2827pm2.21i 116 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 = ∅ → 𝑋 ∈ V)
2928eqcoms 2629 . . . . . . . . 9 (∅ = 1𝑜𝑋 ∈ V)
3024, 25, 293syl 18 . . . . . . . 8 (∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) → 𝑋 ∈ V)
3122, 30jaoi 394 . . . . . . 7 ((∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ ∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑋 ∈ V)
3213, 31sylbi 207 . . . . . 6 (∅ ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑋 ∈ V)
3312, 32syl 17 . . . . 5 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜𝑋 ∈ V)
34 1on 7512 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ On
3534elexi 3199 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ V
3635prid2 4268 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
3736, 4eleqtrri 2697 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ 2𝑜
3837, 6syl5eleqr 2705 . . . . . . 7 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → 1𝑜 ∈ dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}))
3938, 11syl6eleq 2708 . . . . . 6 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → 1𝑜 ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
40 elun 3731 . . . . . . 7 (1𝑜 ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) ↔ (1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ 1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
41 dmxpss 5524 . . . . . . . . . 10 dom ({∅} × {𝑋}) ⊆ {∅}
4241sseli 3579 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) → 1𝑜 ∈ {∅})
43 elsni 4165 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ {∅} → 1𝑜 = ∅)
4427pm2.21i 116 . . . . . . . . 9 (1𝑜 = ∅ → 𝑌 ∈ V)
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . 8 (1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) → 𝑌 ∈ V)
4635eldm 5281 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) ↔ ∃𝑘1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘)
47 brxp 5107 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘 ↔ (1𝑜 ∈ {1𝑜} ∧ 𝑘 ∈ {𝑌}))
48 elsni 4165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑌} → 𝑘 = 𝑌)
4948, 17syl6eqelr 2707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {𝑌} → 𝑌 ∈ V)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜 ∈ {1𝑜} ∧ 𝑘 ∈ {𝑌}) → 𝑌 ∈ V)
5147, 50sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘𝑌 ∈ V)
5251exlimiv 1855 . . . . . . . . 9 (∃𝑘1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘𝑌 ∈ V)
5346, 52sylbi 207 . . . . . . . 8 (1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) → 𝑌 ∈ V)
5445, 53jaoi 394 . . . . . . 7 ((1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ 1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑌 ∈ V)
5540, 54sylbi 207 . . . . . 6 (1𝑜 ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑌 ∈ V)
5639, 55syl 17 . . . . 5 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜𝑌 ∈ V)
5733, 56jca 554 . . . 4 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
58573ad2ant1 1080 . . 3 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
59 elex 3198 . . . 4 (𝑋𝐴𝑋 ∈ V)
60 elex 3198 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ V)
6159, 60anim12i 589 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
62 3anass 1040 . . . 4 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵)))
63 xpscfn 16140 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜)
6463biantrurd 529 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵))))
65 xpsc0 16141 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) = 𝑋)
6665eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴𝑋𝐴))
67 xpsc1 16142 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) = 𝑌)
6867eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑌 ∈ V → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵𝑌𝐵))
6966, 68bi2anan9 916 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵)))
7064, 69bitr3d 270 . . . 4 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵)) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵)))
7162, 70syl5bb 272 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵)))
7258, 61, 71pm5.21nii 368 . 2 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵))
731, 72bitri 264 1 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  Vcvv 3186  cun 3553  c0 3891  ifcif 4058  {csn 4148  {cpr 4150   class class class wbr 4613   × cxp 5072  ccnv 5073  dom cdm 5074  Oncon0 5682   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  Xcixp 7852   +𝑐 ccda 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  xpscf  16147  xpsff1o  16149
  Copyright terms: Public domain W3C validator