MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsle 16162
Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsle.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsle.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsle.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsle.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsle.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsle.p = (le‘𝑇)
xpsle.m 𝑀 = (le‘𝑅)
xpsle.n 𝑁 = (le‘𝑆)
xpsle.3 (𝜑𝐴𝑋)
xpsle.4 (𝜑𝐵𝑌)
xpsle.5 (𝜑𝐶𝑋)
xpsle.6 (𝜑𝐷𝑌)
Assertion
Ref Expression
xpsle (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))

Proof of Theorem xpsle
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6607 . . . . 5 (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 xpsle.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
3 xpsle.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑌)
4 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
54xpsfval 16148 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
62, 3, 5syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
71, 6syl5eqr 2669 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
8 opelxpi 5108 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
92, 3, 8syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
104xpsff1o2 16152 . . . . . . 7 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
11 f1of 6094 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
1312ffvelrni 6314 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
149, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
157, 14eqeltrrd 2699 . . 3 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
16 df-ov 6607 . . . . 5 (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
17 xpsle.5 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
18 xpsle.6 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑌)
194xpsfval 16148 . . . . . 6 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
2017, 18, 19syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
2116, 20syl5eqr 2669 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
22 opelxpi 5108 . . . . . 6 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
2317, 18, 22syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
2412ffvelrni 6314 . . . . 5 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
2621, 25eqeltrrd 2699 . . 3 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
27 xpsle.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
28 xpsle.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
29 xpsle.y . . . . 5 𝑌 = (Base‘𝑆)
30 xpsle.1 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
31 xpsle.2 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑊)
32 eqid 2621 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
33 eqid 2621 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
3427, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpsval 16153 . . . 4 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
3527, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpslem 16154 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
36 f1ocnv 6106 . . . . . 6 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
3710, 36mp1i 13 . . . . 5 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
38 f1ofo 6101 . . . . 5 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
40 ovex 6632 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V
4140a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
42 xpsle.p . . . 4 = (le‘𝑇)
43 eqid 2621 . . . 4 (le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
4437f1olecpbl 16108 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑏 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) ∧ (𝑐 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑑 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) → ((((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑎) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑐) ∧ ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑏) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑑)) → (𝑎(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑏𝑐(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑑)))
4534, 35, 39, 41, 42, 43, 44imasleval 16122 . . 3 ((𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
4615, 26, 45mpd3an23 1423 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
47 f1ocnvfv 6488 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
4810, 9, 47sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
497, 48mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
50 f1ocnvfv 6488 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
5110, 23, 50sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
5221, 51mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
5349, 52breq12d 4626 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩))
54 eqid 2621 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
55 fvex 6158 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
57 2on 7513 . . . . 5 2𝑜 ∈ On
5857a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2𝑜 ∈ On)
59 xpscfn 16140 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
6030, 31, 59syl2anc 692 . . . 4 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
6115, 35eleqtrd 2700 . . . 4 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
6226, 35eleqtrd 2700 . . . 4 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
6333, 54, 56, 58, 60, 61, 62, 43prdsleval 16058 . . 3 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ↔ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)))
64 df2o3 7518 . . . . . 6 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
6564raleqi 3131 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))
66 0ex 4750 . . . . . 6 ∅ ∈ V
67 1on 7512 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
6867elexi 3199 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
69 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
70 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
7170fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)))
72 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅))
7369, 71, 72breq123d 4627 . . . . . 6 (𝑘 = ∅ → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)))
74 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
75 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))
7675fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑘 = 1𝑜 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)))
77 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜))
7874, 76, 77breq123d 4627 . . . . . 6 (𝑘 = 1𝑜 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
7966, 68, 73, 78ralpr 4209 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
8065, 79bitri 264 . . . 4 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
81 xpsc0 16141 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
822, 81syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
83 xpsc0 16141 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑉 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
8430, 83syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
8584fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = (le‘𝑅))
86 xpsle.m . . . . . . 7 𝑀 = (le‘𝑅)
8785, 86syl6eqr 2673 . . . . . 6 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = 𝑀)
88 xpsc0 16141 . . . . . . 7 (𝐶𝑋 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
8917, 88syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
9082, 87, 89breq123d 4627 . . . . 5 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ↔ 𝐴𝑀𝐶))
91 xpsc1 16142 . . . . . . 7 (𝐵𝑌 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
923, 91syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
93 xpsc1 16142 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑊 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
9431, 93syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
9594fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = (le‘𝑆))
96 xpsle.n . . . . . . 7 𝑁 = (le‘𝑆)
9795, 96syl6eqr 2673 . . . . . 6 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = 𝑁)
98 xpsc1 16142 . . . . . . 7 (𝐷𝑌 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) = 𝐷)
9918, 98syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) = 𝐷)
10092, 97, 99breq123d 4627 . . . . 5 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) ↔ 𝐵𝑁𝐷))
10190, 100anbi12d 746 . . . 4 (𝜑 → (((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
10280, 101syl5bb 272 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
10363, 102bitrd 268 . 2 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
10446, 53, 1033bitr3d 298 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  c0 3891  {csn 4148  {cpr 4150  cop 4154   class class class wbr 4613   × cxp 5072  ccnv 5073  ran crn 5075  Oncon0 5682   Fn wfn 5842  wf 5843  ontowfo 5845  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499   +𝑐 ccda 8933  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865  lecple 15869  Xscprds 16027   ×s cxps 16087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-prds 16029  df-imas 16089  df-xps 16091
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator