MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsle 16435
Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsle.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsle.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsle.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsle.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsle.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsle.p = (le‘𝑇)
xpsle.m 𝑀 = (le‘𝑅)
xpsle.n 𝑁 = (le‘𝑆)
xpsle.3 (𝜑𝐴𝑋)
xpsle.4 (𝜑𝐵𝑌)
xpsle.5 (𝜑𝐶𝑋)
xpsle.6 (𝜑𝐷𝑌)
Assertion
Ref Expression
xpsle (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))

Proof of Theorem xpsle
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6808 . . . . 5 (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 xpsle.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
3 xpsle.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑌)
4 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
54xpsfval 16421 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
62, 3, 5syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
71, 6syl5eqr 2800 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
8 opelxpi 5297 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
92, 3, 8syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
104xpsff1o2 16425 . . . . . . 7 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
11 f1of 6290 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
1312ffvelrni 6513 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
149, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
157, 14eqeltrrd 2832 . . 3 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
16 df-ov 6808 . . . . 5 (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
17 xpsle.5 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
18 xpsle.6 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑌)
194xpsfval 16421 . . . . . 6 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
2017, 18, 19syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
2116, 20syl5eqr 2800 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
22 opelxpi 5297 . . . . . 6 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
2317, 18, 22syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
2412ffvelrni 6513 . . . . 5 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
2621, 25eqeltrrd 2832 . . 3 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
27 xpsle.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
28 xpsle.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
29 xpsle.y . . . . 5 𝑌 = (Base‘𝑆)
30 xpsle.1 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
31 xpsle.2 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑊)
32 eqid 2752 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
33 eqid 2752 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
3427, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpsval 16426 . . . 4 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
3527, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpslem 16427 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
36 f1ocnv 6302 . . . . . 6 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
3710, 36mp1i 13 . . . . 5 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
38 f1ofo 6297 . . . . 5 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
40 ovexd 6835 . . . 4 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
41 xpsle.p . . . 4 = (le‘𝑇)
42 eqid 2752 . . . 4 (le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
4337f1olecpbl 16381 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑏 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) ∧ (𝑐 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑑 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) → ((((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑎) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑐) ∧ ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑏) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑑)) → (𝑎(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑏𝑐(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑑)))
4434, 35, 39, 40, 41, 42, 43imasleval 16395 . . 3 ((𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
4515, 26, 44mpd3an23 1567 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
46 f1ocnvfv 6689 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
4710, 9, 46sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
487, 47mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
49 f1ocnvfv 6689 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
5010, 23, 49sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
5121, 50mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
5248, 51breq12d 4809 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩))
53 eqid 2752 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
54 fvexd 6356 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
55 2on 7729 . . . . 5 2𝑜 ∈ On
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2𝑜 ∈ On)
57 xpscfn 16413 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
5830, 31, 57syl2anc 696 . . . 4 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
5915, 35eleqtrd 2833 . . . 4 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
6026, 35eleqtrd 2833 . . . 4 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
6133, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 42prdsleval 16331 . . 3 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ↔ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)))
62 df2o3 7734 . . . . . 6 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
6362raleqi 3273 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))
64 0ex 4934 . . . . . 6 ∅ ∈ V
65 1on 7728 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
6665elexi 3345 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
67 fveq2 6344 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
68 fveq2 6344 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
6968fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)))
70 fveq2 6344 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅))
7167, 69, 70breq123d 4810 . . . . . 6 (𝑘 = ∅ → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)))
72 fveq2 6344 . . . . . . 7 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
73 fveq2 6344 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))
7473fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑘 = 1𝑜 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)))
75 fveq2 6344 . . . . . . 7 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜))
7672, 74, 75breq123d 4810 . . . . . 6 (𝑘 = 1𝑜 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
7764, 66, 71, 76ralpr 4374 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
7863, 77bitri 264 . . . 4 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
79 xpsc0 16414 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
802, 79syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
81 xpsc0 16414 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑉 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
8230, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
8382fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = (le‘𝑅))
84 xpsle.m . . . . . . 7 𝑀 = (le‘𝑅)
8583, 84syl6eqr 2804 . . . . . 6 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = 𝑀)
86 xpsc0 16414 . . . . . . 7 (𝐶𝑋 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
8717, 86syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
8880, 85, 87breq123d 4810 . . . . 5 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ↔ 𝐴𝑀𝐶))
89 xpsc1 16415 . . . . . . 7 (𝐵𝑌 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
903, 89syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
91 xpsc1 16415 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑊 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
9231, 91syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
9392fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = (le‘𝑆))
94 xpsle.n . . . . . . 7 𝑁 = (le‘𝑆)
9593, 94syl6eqr 2804 . . . . . 6 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = 𝑁)
96 xpsc1 16415 . . . . . . 7 (𝐷𝑌 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) = 𝐷)
9718, 96syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) = 𝐷)
9890, 95, 97breq123d 4810 . . . . 5 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) ↔ 𝐵𝑁𝐷))
9988, 98anbi12d 749 . . . 4 (𝜑 → (((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
10078, 99syl5bb 272 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
10161, 100bitrd 268 . 2 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
10245, 52, 1013bitr3d 298 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  Vcvv 3332  c0 4050  {csn 4313  {cpr 4315  cop 4319   class class class wbr 4796   × cxp 5256  ccnv 5257  ran crn 5259  Oncon0 5876   Fn wfn 6036  wf 6037  ontowfo 6039  1-1-ontowf1o 6040  cfv 6041  (class class class)co 6805  cmpt2 6807  1𝑜c1o 7714  2𝑜c2o 7715   +𝑐 ccda 9173  Basecbs 16051  Scalarcsca 16138  lecple 16142  Xscprds 16300   ×s cxps 16360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-hom 16160  df-cco 16161  df-prds 16302  df-imas 16362  df-xps 16364
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator