Theorem xpsle 16435

Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsle.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsle.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsle.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsle.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsle.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsle.p	⊢ ≤ = (le‘𝑇)
xpsle.m	⊢ 𝑀 = (le‘𝑅)
xpsle.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑆)
xpsle.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsle.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsle.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
xpsle.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xpsle	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))

Proof of Theorem xpsle

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6808	. . . . 5 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		xpsle.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		xpsle.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
4		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
5	4	xpsfval 16421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
6	2, 3, 5	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
7	1, 6	syl5eqr 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
8		opelxpi 5297	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
9	2, 3, 8	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
10	4	xpsff1o2 16425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
11		f1of 6290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
13	12	ffvelrni 6513	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
15	7, 14	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
16		df-ov 6808	. . . . 5 ⊢ (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
17		xpsle.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
18		xpsle.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
19	4	xpsfval 16421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
20	17, 18, 19	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
21	16, 20	syl5eqr 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
22		opelxpi 5297	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
23	17, 18, 22	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
24	12	ffvelrni 6513	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
26	21, 25	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
27		xpsle.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
28		xpsle.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
29		xpsle.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
30		xpsle.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
31		xpsle.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
32		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
33		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
34	27, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33	xpsval 16426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
35	27, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33	xpslem 16427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
36		f1ocnv 6302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
37	10, 36	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
38		f1ofo 6297	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
40		ovexd 6835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
41		xpsle.p	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑇)
42		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (le‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
43	37	f1olecpbl 16381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑏 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) ∧ (𝑐 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑑 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) → (((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑎) = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑐) ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑏) = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑑)) → (𝑎(le‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑏 ↔ 𝑐(le‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑑)))
44	34, 35, 39, 40, 41, 42, 43	imasleval 16395	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
45	15, 26, 44	mpd3an23 1567	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
46		f1ocnvfv 6689	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
47	10, 9, 46	sylancr 698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
48	7, 47	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
49		f1ocnvfv 6689	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
50	10, 23, 49	sylancr 698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
51	21, 50	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
52	48, 51	breq12d 4809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩))
53		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
54		fvexd 6356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
55		2on 7729	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 ∈ On
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2𝑜 ∈ On)
57		xpscfn 16413	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
58	30, 31, 57	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
59	15, 35	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
60	26, 35	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
61	33, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 42	prdsleval 16331	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ↔ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)))
62		df2o3 7734	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
63	62	raleqi 3273	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))
64		0ex 4934	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
65		1on 7728	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
66	65	elexi 3345	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ V
67		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
68		fveq2 6344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
69	68	fveq2d 6348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → (le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)))
70		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → (◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅))
71	67, 69, 70	breq123d 4810	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)))
72		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
73		fveq2 6344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1𝑜 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))
74	73	fveq2d 6348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1𝑜 → (le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)))
75		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1𝑜 → (◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜))
76	72, 74, 75	breq123d 4810	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1𝑜 → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
77	64, 66, 71, 76	ralpr 4374	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
78	63, 77	bitri 264	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
79		xpsc0 16414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
80	2, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
81		xpsc0 16414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
82	30, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
83	82	fveq2d 6348	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = (le‘𝑅))
84		xpsle.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (le‘𝑅)
85	83, 84	syl6eqr 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = 𝑀)
86		xpsc0 16414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
87	17, 86	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
88	80, 85, 87	breq123d 4810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ↔ 𝐴𝑀𝐶))
89		xpsc1 16415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
90	3, 89	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
91		xpsc1 16415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
92	31, 91	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
93	92	fveq2d 6348	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = (le‘𝑆))
94		xpsle.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑆)
95	93, 94	syl6eqr 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = 𝑁)
96		xpsc1 16415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → (◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) = 𝐷)
97	18, 96	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) = 𝐷)
98	90, 95, 97	breq123d 4810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) ↔ 𝐵𝑁𝐷))
99	88, 98	anbi12d 749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)) ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
100	78, 99	syl5bb 272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(◡({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
101	61, 100	bitrd 268	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))◡({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
102	45, 52, 101	3bitr3d 298	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  Vcvv 3332  ∅c0 4050  {csn 4313  {cpr 4315  ⟨cop 4319   class class class wbr 4796   × cxp 5256  ^◡ccnv 5257  ran crn 5259  Oncon0 5876   Fn wfn 6036  ⟶wf 6037  –onto→wfo 6039  –1-1-onto→wf1o 6040  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↦ cmpt2 6807  1_𝑜c1o 7714  2_𝑜c2o 7715   +_𝑐 ccda 9173  Basecbs 16051  Scalarcsca 16138  lecple 16142  X_scprds 16300   ×_s cxps 16360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-hom 16160  df-cco 16161  df-prds 16302  df-imas 16362  df-xps 16364

This theorem is referenced by: (None)