Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpslem 16149
 Description: The indexed structure product that appears in xpsval 16148 has the same base as the target of the function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsval.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsval.f 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
xpsval.k 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
xpsval.u 𝑈 = (𝐺Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
Assertion
Ref Expression
xpslem (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpslem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsval.u . . 3 𝑈 = (𝐺Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
2 eqid 2626 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3 xpsval.k . . . . 5 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
4 fvex 6160 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
53, 4eqeltri 2700 . . . 4 𝐺 ∈ V
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
7 2on 7514 . . . 4 2𝑜 ∈ On
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2𝑜 ∈ On)
9 xpsval.1 . . . 4 (𝜑𝑅𝑉)
10 xpsval.2 . . . 4 (𝜑𝑆𝑊)
11 xpscfn 16135 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
129, 10, 11syl2anc 692 . . 3 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
131, 2, 6, 8, 12prdsbas2 16045 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑈) = X𝑘 ∈ 2𝑜 (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
14 xpscfv 16138 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝑘 ∈ 2𝑜) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
15143expia 1264 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑘 ∈ 2𝑜 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
169, 10, 15syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ 2𝑜 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
1716imp 445 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ 2𝑜) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
1817fveq2d 6154 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ 2𝑜) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)))
19 xpsval.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝑅)
20 xpsval.y . . . . . . 7 𝑌 = (Base‘𝑆)
21 ifeq12 4080 . . . . . . 7 ((𝑋 = (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 = (Base‘𝑆)) → if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆)))
2219, 20, 21mp2an 707 . . . . . 6 if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
23 fvif 6162 . . . . . 6 (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆)) = if(𝑘 = ∅, (Base‘𝑅), (Base‘𝑆))
2422, 23eqtr4i 2651 . . . . 5 if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌) = (Base‘if(𝑘 = ∅, 𝑅, 𝑆))
2518, 24syl6eqr 2678 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ 2𝑜) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
2625ixpeq2dva 7868 . . 3 (𝜑X𝑘 ∈ 2𝑜 (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌))
27 xpsval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
2827xpsfrn 16145 . . 3 ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝑋, 𝑌)
2926, 28syl6eqr 2678 . 2 (𝜑X𝑘 ∈ 2𝑜 (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = ran 𝐹)
3013, 29eqtr2d 2661 1 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191  ∅c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153  ◡ccnv 5078  ran crn 5080  Oncon0 5685   Fn wfn 5845  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↦ cmpt2 6607  2𝑜c2o 7500  Xcixp 7853   +𝑐 ccda 8934  Basecbs 15776  Scalarcsca 15860  Xscprds 16022   ×s cxps 16082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-hom 15882  df-cco 15883  df-prds 16024 This theorem is referenced by:  xpsbas  16150  xpsaddlem  16151  xpsadd  16152  xpsmul  16153  xpssca  16154  xpsvsca  16155  xpsless  16156  xpsle  16157  xpsmnd  17246  xpsgrp  17450  xpstps  21518  xpstopnlem2  21519  xpsdsfn  22087  xpsxmetlem  22089  xpsxmet  22090  xpsdsval  22091  xpsmet  22092  xpsxms  22244  xpsms  22245
 Copyright terms: Public domain W3C validator