MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsn 6361
Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsn.1 𝐴 ∈ V
xpsn.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
xpsn ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Proof of Theorem xpsn
StepHypRef Expression
1 xpsn.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 xpsn.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 xpsng 6360 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
41, 2, 3mp2an 707 1 ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  {csn 4148  cop 4154   × cxp 5072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854
This theorem is referenced by:  dfmpt  6364  fpar  7226  mapsnconst  7847  ixpsnf1o  7892  cda1dif  8942  infcda1  8959  s1co  13516  xpsc0  16141  xpsc1  16142  mat1f1o  20203  txdis  21345  pt1hmeo  21519  utop2nei  21964  utop3cls  21965  imasdsf1olem  22088  ex-xp  27147  poimirlem3  33044  poimirlem4  33045  poimirlem9  33050  poimirlem28  33069  grposnOLD  33313  dib0  35933
  Copyright terms: Public domain W3C validator