MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsng 6363
Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 6051 . . 3 (𝐵𝑊 → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
21adantl 482 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
3 fsng 6361 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵} ↔ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
42, 3mpbid 222 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4150  cop 4156   × cxp 5074  wf 5845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pr 4869
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856
This theorem is referenced by:  xpsn  6364  f1o2sn  6365  residpr  6366  fmptsn  6390  mpt2sn  7216  repsw1  13470  s1co  13519  xpscg  16142  xpsc0  16144  xpsc1  16145  intopsn  17177  grp1inv  17447  psgnsn  17864  ixpsnbasval  19131  mat1dimelbas  20199  mat1dimscm  20203  mat1dimmul  20204  mat1f1o  20206  m1detdiag  20325  pt1hmeo  21522  rngosn3  33376  fmptsnxp  38841  xpprsng  41414  lmod1zr  41586
  Copyright terms: Public domain W3C validator