MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsng 6893
Description: The Cartesian product of two singletons is the singleton consisting in the associated ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 6559 . . 3 (𝐵𝑊 → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
21adantl 482 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
3 fsng 6891 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵} ↔ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
42, 3mpbid 233 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557  cop 4563   × cxp 5546  wf 6344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355
This theorem is referenced by:  xpprsng  6894  xpsn  6895  f1o2sn  6896  residpr  6897  fmptsn  6921  mposn  7787  repsw1  14133  s1co  14183  intopsn  17852  grp1inv  18145  psgnsn  18577  ixpsnbasval  19910  mat1dimelbas  21008  mat1dimscm  21012  mat1dimmul  21013  mat1f1o  21015  m1detdiag  21134  pt1hmeo  22342  cosnop  30357  cshw1s2  30561  nosupbnd2lem1  33112  rngosn3  35083  fmptsnxp  41301  lmod1zr  44476
  Copyright terms: Public domain W3C validator