Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsxmet 22232
 Description: A product metric of extended metrics is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsds.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsds.p 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
xpsxmet (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem xpsxmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 xpsds.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑅)
3 xpsds.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝑆)
4 xpsds.1 . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
5 xpsds.2 . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
6 eqid 2651 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7 eqid 2651 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2651 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 16279 . 2 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 16280 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
116xpsff1o2 16278 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
12 f1ocnv 6187 . . 3 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
1311, 12mp1i 13 . 2 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14 ovexd 6720 . 2 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
15 eqid 2651 . 2 ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) = ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
16 xpsds.p . 2 𝑃 = (dist‘𝑇)
17 xpsds.m . . . 4 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
18 xpsds.n . . . 4 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
19 xpsds.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
20 xpsds.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
211, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 18, 19, 20xpsxmetlem 22231 . . 3 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
22 ssid 3657 . . 3 ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
23 xmetres2 22213 . . 3 (((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) ∧ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
2421, 22, 23sylancl 695 . 2 (𝜑 → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
259, 10, 13, 14, 15, 16, 24imasf1oxmet 22227 1 (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {csn 4210   × cxp 5141  ◡ccnv 5142  ran crn 5144   ↾ cres 5145  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692   +𝑐 ccda 9027  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991  distcds 15997  Xscprds 16153   ×s cxps 16213  ∞Metcxmt 19779 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-xmet 19787 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator