Theorem xpsxms 23146

Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsms.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsxms	⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem xpsxms

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsms.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑆 ∈ ∞MetSp)
6		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2823	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 16845	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 16846	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
11	6	xpsff1o2 16844	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12		f1ocnv 6629	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
13	11, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
14		fvexd 6687	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
15		2onn 8268	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
16		nnfi 8713	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
17	15, 16	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 2o ∈ Fin)
18		xpscf 16840	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶∞MetSp ↔ (𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp))
19	18	biimpri 230	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶∞MetSp)
20	8	prdsxms 23142	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑅) ∈ V ∧ 2o ∈ Fin ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ ∞MetSp)
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ ∞MetSp)
22	9, 10, 13, 21	imasf1oxms 23101	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  ∅c0 4293  {cpr 4571  ⟨cop 4575   × cxp 5555  ^◡ccnv 5556  ran crn 5558  ⟶wf 6353  –1-1-onto→wf1o 6356  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160  ωcom 7582  1_oc1o 8097  2_oc2o 8098  Fincfn 8511  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570  X_scprds 16721   ×_s cxps 16781  ∞MetSpcxms 22929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-xms 22932

This theorem is referenced by:  tmsxps  23148  tmsxpsmopn  23149