MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xralrple Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple 12074
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xralrple ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xralrple
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpge0 11883 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
21adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
3 simplr 807 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 rpre 11877 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
63, 5addge01d 10653 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝑥𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
72, 6mpbid 222 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥))
8 simpll 805 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
93rexrd 10127 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103, 5readdcld 10107 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
1110rexrd 10127 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
12 xrletr 12027 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
138, 9, 11, 12syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
147, 13mpan2d 710 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
1514ralrimdva 2998 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
16 rexr 10123 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19 qbtwnxr 12069 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))
20193expia 1286 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
2117, 18, 20syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
22 simprrl 821 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 < 𝑦)
23 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 qre 11831 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
2524ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 difrp 11906 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦𝐵) ∈ ℝ+))
2723, 25, 26syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦𝐵) ∈ ℝ+))
2822, 27mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝑦𝐵) ∈ ℝ+)
29 simprrr 822 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 < 𝐴)
3025rexrd 10127 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
31 simpll 805 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32 xrltnle 10143 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑦))
3330, 31, 32syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑦))
3429, 33mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴𝑦)
3523recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
3625recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℂ)
3735, 36pncan3d 10433 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 + (𝑦𝐵)) = 𝑦)
3837breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵)) ↔ 𝐴𝑦))
3934, 38mtbird 314 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵)))
40 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + (𝑦𝐵)))
4140breq2d 4697 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵))))
4241notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵))))
4342rspcev 3340 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵) ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
4428, 39, 43syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
45 rexnal 3024 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
4644, 45sylib 208 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
4746rexlimdvaa 3061 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
4821, 47syld 47 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
4948con2d 129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
50 xrlenlt 10141 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5116, 50sylan2 490 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5249, 51sylibrd 249 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → 𝐴𝐵))
5315, 52impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cq 11826  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  alrple  12075  ovollb2  23303  ovolun  23313  ovoliun  23319  ovolscalem2  23328  nulmbl2  23350  omssubadd  30490  xrlexaddrp  39881  xralrple2  39883  xralrple4  39902  xralrple3  39903  xrralrecnnle  39915  carageniuncl  41058
  Copyright terms: Public domain W3C validator