Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple3 39903
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple3.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
xralrple3.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
xralrple3.g (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
xralrple3 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple3.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 xralrple3.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10127 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 xralrple3.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
87ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 rpre 11877 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
118, 10remulcld 10108 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
126, 11readdcld 10107 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1312rexrd 10127 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ*)
14 simplr 807 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
157adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
169adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 xralrple3.g . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
19 rpge0 11883 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
2019adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
2115, 16, 18, 20mulge0d 10642 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 · 𝑥))
223adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
2315, 16remulcld 10108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
2422, 23addge01d 10653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐶 · 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
2521, 24mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2625adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
272, 5, 13, 14, 26xrletrd 12031 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2827ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2928ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
30 1rp 11874 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
31 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 1))
3231oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3332breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))))
3433rspcva 3338 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3530, 34mpan 706 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3635ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
37 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = (0 · 1))
38 0cn 10070 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
3938mulid1i 10080 . . . . . . . . . . 11 (0 · 1) = 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → (0 · 1) = 0)
4137, 40eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = 0)
4241oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
4342adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
443recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4645addid1d 10274 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
4743, 46eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
4847adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
4936, 48breqtrd 4711 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴𝐵)
50 neqne 2831 . . . . . . . 8 𝐶 = 0 → 𝐶 ≠ 0)
5150adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ≠ 0)
527adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
53 0red 10079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
5417adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐶)
55 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
5653, 52, 54, 55leneltd 10229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 < 𝐶)
5752, 56elrpd 11907 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5851, 57syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5958adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
60 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
61 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
6260, 61rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
6362adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
64 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
65 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))
6665oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
6766breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))))
6867rspcva 3338 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
6963, 64, 68syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
7069adantlll 754 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
7160rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
7261rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
7361rpne0d 11915 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
7471, 72, 73divcan2d 10841 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
7574adantll 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
7675oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) = (𝐵 + 𝑦))
7770, 76breqtrd 4711 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
7877ralrimiva 2995 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
79 xralrple 12074 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
801, 3, 79syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
8180ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
8278, 81mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
8359, 82syldan 486 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐴𝐵)
8449, 83pm2.61dan 849 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴𝐵)
8584ex 449 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴𝐵))
8629, 85impbid 202 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111  cle 10113   / cdiv 10722  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator