Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple3 41518
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple3.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
xralrple3.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
xralrple3.g (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
xralrple3 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple3.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 xralrple3.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10679 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 xralrple3.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
87ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 rpre 12385 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
109adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
118, 10remulcld 10659 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
126, 11readdcld 10658 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1312rexrd 10679 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ*)
14 simplr 765 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
157adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
169adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 xralrple3.g . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
1817adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
19 rpge0 12390 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
2019adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
2115, 16, 18, 20mulge0d 11205 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 · 𝑥))
223adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
2315, 16remulcld 10659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
2422, 23addge01d 11216 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐶 · 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
2521, 24mpbid 233 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2625adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
272, 5, 13, 14, 26xrletrd 12543 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2827ralrimiva 3179 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2928ex 413 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
30 1rp 12381 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
31 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 1))
3231oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3332breq2d 5069 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))))
3433rspcva 3618 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3530, 34mpan 686 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3635ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
37 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = (0 · 1))
38 0cn 10621 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
3938mulid1i 10633 . . . . . . . . . . 11 (0 · 1) = 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → (0 · 1) = 0)
4137, 40eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = 0)
4241oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
4342adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
443recnd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4544adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4645addid1d 10828 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
4743, 46eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
4847adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
4936, 48breqtrd 5083 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴𝐵)
50 neqne 3021 . . . . . . . 8 𝐶 = 0 → 𝐶 ≠ 0)
5150adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ≠ 0)
527adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
53 0red 10632 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
5417adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐶)
55 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
5653, 52, 54, 55leneltd 10782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 < 𝐶)
5752, 56elrpd 12416 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5851, 57syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5958adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
60 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
61 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
6260, 61rpdivcld 12436 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
6362adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
64 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
65 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))
6665oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
6766breq2d 5069 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))))
6867rspcva 3618 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
6963, 64, 68syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
7069adantlll 714 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
7160rpcnd 12421 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
7261rpcnd 12421 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
7361rpne0d 12424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
7471, 72, 73divcan2d 11406 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
7574adantll 710 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
7675oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) = (𝐵 + 𝑦))
7770, 76breqtrd 5083 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
7877ralrimiva 3179 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
79 xralrple 12586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
801, 3, 79syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
8180ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
8278, 81mpbird 258 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
8359, 82syldan 591 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐴𝐵)
8449, 83pm2.61dan 809 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴𝐵)
8584ex 413 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴𝐵))
8629, 85impbid 213 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662  cle 10664   / cdiv 11285  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator