Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple4 40079
 Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple4.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
xralrple4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
xralrple4 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple4.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 xralrple4.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10273 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 rpre 12024 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 xralrple4.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109nnnn0d 11535 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1110adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
128, 11reexpcld 13211 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑁) ∈ ℝ)
1312adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑁) ∈ ℝ)
146, 13readdcld 10253 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) ∈ ℝ)
1514rexrd 10273 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) ∈ ℝ*)
16 simplr 809 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
17 rpge0 12030 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
1817adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
198, 11, 18expge0d 13212 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑥𝑁))
203adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120, 12addge01d 10799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝑥𝑁) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
2219, 21mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2322adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
242, 5, 15, 16, 23xrletrd 12178 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2524ralrimiva 3096 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2625ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
27 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
289nnrpd 12055 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2928rpreccld 12067 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
3029rpred 12057 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3130adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3227, 31rpcxpcld 24667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
3332adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
34 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
35 oveq1 6812 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝑥𝑁) = ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
3635oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) = (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
3736breq2d 4808 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))))
3837rspcva 3439 . . . . . . 7 (((𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
3933, 34, 38syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
4027rpcnd 12059 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
419adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
42 cxproot 24627 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
4340, 41, 42syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
4443oveq2d 6821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
4544adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
4639, 45breqtrd 4822 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
4746ralrimiva 3096 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
48 xralrple 12221 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
491, 3, 48syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
5049adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
5147, 50mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → 𝐴𝐵)
5251ex 449 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)) → 𝐴𝐵))
5326, 52impbid 202 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  ℝcr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123  ℝ*cxr 10257   ≤ cle 10259   / cdiv 10868  ℕcn 11204  ℕ0cn0 11476  ℝ+crp 12017  ↑cexp 13046  ↑𝑐ccxp 24493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-log 24494  df-cxp 24495 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator