Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0addgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0addgt0 29473
Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. See addgtge0 10460. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0addgt0 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xrge0addgt0
StepHypRef Expression
1 0xr 10030 . . . 4 0 ∈ ℝ*
2 xaddid1 12015 . . . 4 (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 . . 3 (0 +𝑒 0) = 0
4 simplr 791 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
5 simpr 477 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
61a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
7 iccssxr 12198 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8 simplll 797 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
97, 8sseldi 3581 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10 simpllr 798 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
117, 10sseldi 3581 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 xlt2add 12033 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
136, 6, 9, 11, 12syl22anc 1324 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
144, 5, 13mp2and 714 . . 3 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵))
153, 14syl5eqbrr 4649 . 2 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
16 simplr 791 . . 3 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < 𝐴)
17 oveq2 6612 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
1817adantl 482 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
1918breq2d 4625 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 0) ↔ 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
20 simplll 797 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
217, 20sseldi 3581 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 xaddid1 12015 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
2423breq2d 4625 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 0) ↔ 0 < 𝐴))
2519, 24bitr3d 270 . . 3 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 𝐵) ↔ 0 < 𝐴))
2616, 25mpbird 247 . 2 ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
271a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
28 simplr 791 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
297, 28sseldi 3581 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30 pnfxr 10036 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
32 iccgelb 12172 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
3327, 31, 28, 32syl3anc 1323 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
34 xrleloe 11921 . . . 4 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
3534biimpa 501 . . 3 (((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
3627, 29, 33, 35syl21anc 1322 . 2 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
3715, 26, 36mpjaodan 826 1 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019   +𝑒 cxad 11888  [,]cicc 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-icc 12124
This theorem is referenced by:  xrge0adddir  29474
  Copyright terms: Public domain W3C validator