MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0f 23404
Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrge0f ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6002 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
21adantr 481 . 2 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
3 ax-resscn 9937 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
54, 10pledm 23346 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝𝑟𝐹 ↔ (ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹))
6 0re 9984 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
7 fnconstg 6050 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
9 reex 9971 . . . . . 6 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
11 inidm 3800 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12 c0ex 9978 . . . . . . 7 0 ∈ V
1312fvconst2 6423 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
15 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
168, 1, 10, 10, 11, 14, 15ofrfval 6858 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {0}) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
17 ffvelrn 6313 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817rexrd 10033 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1918biantrurd 529 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥))))
20 elxrge0 12223 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
2119, 20syl6bbr 278 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
2221ralbidva 2979 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
235, 16, 223bitrd 294 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
2423biimpa 501 . 2 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
25 ffnfv 6343 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
262, 24, 25sylanbrc 697 1 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑟 cofr 6849  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017  cle 10019  [,]cicc 12120  0𝑝c0p 23342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-ofr 6851  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-icc 12124  df-0p 23343
This theorem is referenced by:  itg2itg1  23409
  Copyright terms: Public domain W3C validator