Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0gsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0gsumle 22559
 Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0gsumle.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0gsumle.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b (𝜑𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrge0gsumle (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))

Proof of Theorem xrge0gsumle
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12206 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrge0gsumle.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
3 xrsbas 19694 . . . . . . . . . 10 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 15863 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
51, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
6 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
76xrge0subm 19719 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
8 xrex 11781 . . . . . . . . . . . . 13 * ∈ V
9 difexg 4773 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
11 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12 ge0nemnf 11955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
1311, 12jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
14 elxrge0 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
15 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
1613, 14, 153imtr4i 281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1716ssriv 3591 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
18 ressabs 15871 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
1910, 17, 18mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
202, 19eqtr4i 2646 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
216xrs10 19717 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
2220, 21subm0 17288 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g𝐺))
237, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
24 xrge0cmn 19720 . . . . . . . . . 10 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
252, 24eqeltri 2694 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ CMnd
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
27 elfpw 8220 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ Fin))
2827simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
2928adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
30 xrge0gsumle.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3127simplbi 476 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠𝐴)
32 fssres 6032 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
3330, 31, 32syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
34 c0ex 9986 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
3633, 29, 35fdmfifsupp 8237 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠) finSupp 0)
375, 23, 26, 29, 33, 36gsumcl 18248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
381, 37sseldi 3585 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ ℝ*)
39 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
4038, 39fmptd 6346 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
41 frn 6015 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
4240, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
43 0ss 3949 . . . . . . 7 ∅ ⊆ 𝐴
44 0fin 8140 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
45 elfpw 8220 . . . . . . 7 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
4643, 44, 45mpbir2an 954 . . . . . 6 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
47 0cn 9984 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
48 reseq2 5356 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
49 res0 5365 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
5048, 49syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = ∅)
5150oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
5223gsum0 17210 . . . . . . . 8 (𝐺 Σg ∅) = 0
5351, 52syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = 0)
5439, 53elrnmpt1s 5338 . . . . . 6 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5546, 47, 54mp2an 707 . . . . 5 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5742, 56sseldd 3588 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
5825a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
59 xrge0gsumle.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
60 elfpw 8220 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))
6160simprbi 480 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
6259, 61syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
63 diffi 8144 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐶) ∈ Fin)
6462, 63syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ Fin)
6560simplbi 476 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵𝐴)
6659, 65syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
6766ssdifssd 3731 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴)
6830, 67fssresd 6033 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)):(𝐵𝐶)⟶(0[,]+∞))
6934a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ V)
7068, 64, 69fdmfifsupp 8237 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)) finSupp 0)
715, 23, 58, 64, 68, 70gsumcl 18248 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
721, 71sseldi 3585 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ*)
73 xrge0gsumle.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
74 ssfi 8132 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7562, 73, 74syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
7673, 66sstrd 3597 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
7730, 76fssresd 6033 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶):𝐶⟶(0[,]+∞))
7877, 75, 69fdmfifsupp 8237 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) finSupp 0)
795, 23, 58, 75, 77, 78gsumcl 18248 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
801, 79sseldi 3585 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ*)
81 elxrge0 12231 . . . . 5 ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
8281simprbi 480 . . . 4 ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
8371, 82syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
84 xleadd2a 12035 . . 3 (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))) → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
8557, 72, 80, 83, 84syl31anc 1326 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
86 xaddid1 12023 . . 3 ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ∈ ℝ* → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
8780, 86syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
88 ovex 6638 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
89 xrsadd 19695 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
902, 89ressplusg 15925 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g𝐺))
9188, 90ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+g𝐺)
9230, 66fssresd 6033 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
9392, 62, 69fdmfifsupp 8237 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) finSupp 0)
94 disjdif 4017 . . . . 5 (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = ∅
9594a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐵𝐶)) = ∅)
96 undif2 4021 . . . . 5 (𝐶 ∪ (𝐵𝐶)) = (𝐶𝐵)
97 ssequn1 3766 . . . . . 6 (𝐶𝐵 ↔ (𝐶𝐵) = 𝐵)
9873, 97sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) = 𝐵)
9996, 98syl5req 2668 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐶 ∪ (𝐵𝐶)))
1005, 23, 91, 58, 59, 92, 93, 95, 99gsumsplit 18260 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐵)) = ((𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)))))
10173resabs1d 5392 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐹𝐶))
102101oveq2d 6626 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝐹𝐶)))
103 difss 3720 . . . . . 6 (𝐵𝐶) ⊆ 𝐵
104 resabs1 5391 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
105103, 104mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))
106105oveq2d 6626 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶))))
107102, 106oveq12d 6628 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹𝐵) ↾ (𝐵𝐶)))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))))
108100, 107eqtr2d 2656 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵𝐶)))) = (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))
10985, 87, 1083brtr3d 4649 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3189   ∖ cdif 3556   ∪ cun 3557   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ran crn 5080   ↾ cres 5081  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  ℂcc 9886  0cc0 9888  +∞cpnf 10023  -∞cmnf 10024  ℝ*cxr 10025   ≤ cle 10027   +𝑒 cxad 11896  [,]cicc 12128  Basecbs 15792   ↾s cress 15793  +gcplusg 15873  0gc0g 16032   Σg cgsu 16033  ℝ*𝑠cxrs 16092  SubMndcsubmnd 17266  CMndccmn 18125 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-xadd 11899  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-xrs 16094  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-cntz 17682  df-cmn 18127 This theorem is referenced by:  xrge0tsms  22560  xrge0tsmsd  29594
 Copyright terms: Public domain W3C validator