Theorem xrge0iifhmeo 31181

Description: Expose a homeomorphism from the closed unit interval to the extended nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifhmeo	⊢ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifhmeo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letsr 17839	. . . . . 6 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
2		tsrps 17833	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ PosetRel
4	3	elexi 3515	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ V
5	4	inex1 5223	. . 3 ⊢ ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V
6		cnvps 17824	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∈ PosetRel → ◡ ≤ ∈ PosetRel)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ◡ ≤ ∈ PosetRel
8	7	elexi 3515	. . . 4 ⊢ ◡ ≤ ∈ V
9	8	inex1 5223	. . 3 ⊢ (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V
10		xrge0iifhmeo.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
11	10	xrge0iifiso 31180	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < ((0[,]1), (0[,]+∞))
12		iccssxr 12822	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ*
13		iccssxr 12822	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
14		gtiso 30438	. . . . . . 7 ⊢ (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , ◡ < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))))
15	12, 13, 14	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
16	11, 15	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
17		isores1 7089	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
18	16, 17	mpbi 232	. . . 4 ⊢ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
19		isores2 7088	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞)))
20	18, 19	mpbi 232	. . 3 ⊢ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))
21		ledm 17836	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = dom ≤
22	21	psssdm 17828	. . . . . 6 ⊢ (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1))
23	3, 12, 22	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1)
24	23	eqcomi 2832	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1)))
25		lern 17837	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ* = ran ≤
26		df-rn 5568	. . . . . . . 8 ⊢ ran ≤ = dom ◡ ≤
27	25, 26	eqtri 2846	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = dom ◡ ≤
28	27	psssdm 17828	. . . . . 6 ⊢ ((◡ ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → dom (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞))
29	7, 13, 28	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ dom (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞)
30	29	eqcomi 2832	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) = dom (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
31	24, 30	ordthmeo 22412	. . 3 ⊢ ((( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V ∧ (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))))
32	5, 9, 20, 31	mp3an 1457	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
33		dfii5 23495	. . 3 ⊢ II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
34		xrge0iifhmeo.k	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
35		iccss2 12810	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,]+∞))
36	13, 35	cnvordtrestixx 31158	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
37	34, 36	eqtri 2846	. . 3 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
38	33, 37	oveq12i 7170	. 2 ⊢ (IIHomeo𝐽) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
39	32, 38	eleqtrri 2914	1 ⊢ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ifcif 4469   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ^◡ccnv 5556  dom cdm 5557  ran crn 5558  ‘cfv 6357   Isom wiso 6358  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540  +∞cpnf 10674  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  -cneg 10873  [,]cicc 12744   ↾_t crest 16696  ordTopcordt 16774  PosetRelcps 17810   TosetRel ctsr 17811  Homeochmeo 22363  IIcii 23485  logclog 25140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-ordt 16776  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-ps 17812  df-tsr 17813  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-ii 23487  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467  df-log 25142

This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  31185  xrge0tmd  31190