Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifhmeo 29806
 Description: Expose a homeomorphism from the closed unit interval and the extended nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifhmeo 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifhmeo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 17167 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
2 tsrps 17161 . . . . . 6 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ≤ ∈ PosetRel
43elexi 3203 . . . 4 ≤ ∈ V
54inex1 4769 . . 3 ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V
6 cnvps 17152 . . . . . 6 ( ≤ ∈ PosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 ≤ ∈ PosetRel
87elexi 3203 . . . 4 ≤ ∈ V
98inex1 4769 . . 3 ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V
10 xrge0iifhmeo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
1110xrge0iifiso 29805 . . . . . 6 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
12 iccssxr 12214 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ*
13 iccssxr 12214 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
14 gtiso 29362 . . . . . . 7 (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))))
1512, 13, 14mp2an 707 . . . . . 6 (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1611, 15mpbi 220 . . . . 5 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
17 isores1 6549 . . . . 5 (𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1816, 17mpbi 220 . . . 4 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
19 isores2 6548 . . . 4 (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞)))
2018, 19mpbi 220 . . 3 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))
21 ledm 17164 . . . . . . 7 * = dom ≤
2221psssdm 17156 . . . . . 6 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1))
233, 12, 22mp2an 707 . . . . 5 dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1)
2423eqcomi 2630 . . . 4 (0[,]1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1)))
25 lern 17165 . . . . . . . 8 * = ran ≤
26 df-rn 5095 . . . . . . . 8 ran ≤ = dom
2725, 26eqtri 2643 . . . . . . 7 * = dom
2827psssdm 17156 . . . . . 6 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞))
297, 13, 28mp2an 707 . . . . 5 dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞)
3029eqcomi 2630 . . . 4 (0[,]+∞) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
3124, 30ordthmeo 21545 . . 3 ((( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))))
325, 9, 20, 31mp3an 1421 . 2 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
33 dfii5 22628 . . 3 II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
34 xrge0iifhmeo.k . . . 4 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
35 iccss2 12202 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,]+∞))
3613, 35cnvordtrestixx 29783 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
3734, 36eqtri 2643 . . 3 𝐽 = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
3833, 37oveq12i 6627 . 2 (IIHomeo𝐽) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
3932, 38eleqtrri 2697 1 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ifcif 4064   ↦ cmpt 4683   × cxp 5082  ◡ccnv 5083  dom cdm 5084  ran crn 5085  ‘cfv 5857   Isom wiso 5858  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897  +∞cpnf 10031  ℝ*cxr 10033   < clt 10034   ≤ cle 10035  -cneg 10227  [,]cicc 12136   ↾t crest 16021  ordTopcordt 16099  PosetRelcps 17138   TosetRel ctsr 17139  Homeochmeo 21496  IIcii 22618  logclog 24239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-ordt 16101  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-ps 17140  df-tsr 17141  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-ii 22620  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241 This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  29810  xrge0tmd  29816
 Copyright terms: Public domain W3C validator