Theorem xrge0mulc1cn 31179

Description: The operation multiplying a nonnegative real numbers by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0mulc1cn.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0mulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrge0mulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0mulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0mulc1cn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2		letopon 21807	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
3		iccssxr 12813	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		resttopon 21763	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
6	1, 5	eqeltri 2909	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
8		0e0iccpnf 12841	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 0 ∈ (0[,]+∞))
10		simpl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 = 0)
11	10	oveq2d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 0))
12		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	sseldi 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
14		xmul01 12654	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 0) = 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 0) = 0)
16	11, 15	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 0)
17	16	mpteq2dva 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0))
18		xrge0mulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
19		fconstmpt 5608	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) × {0}) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0)
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2881	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
21		c0ex 10629	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
22	21	fconst2 6961	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0[,]+∞)⟶{0} ↔ 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
23	20, 22	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})
24		cnconst 21886	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))) ∧ (0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
25	7, 7, 9, 23, 24	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26	25	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
29	28	cbvmptv 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦 ·e 𝐶))
30		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ+)
31	27, 29, 30	xrmulc1cn 31168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
32		letopuni 21809	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ* = ∪ (ordTop‘ ≤ )
33	32	cnrest 21887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
34	31, 3, 33	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
35		resmpt 5899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)))
36	3, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
37	36, 18	eqtr4i 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = 𝐹
38	1	eqcomi 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = 𝐽
39	38	oveq1i 7160	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )) = (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ ))
40	34, 37, 39	3eltr3g 2929	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )))
41	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
42		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
43		ioorp 12808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
44		ioossicc 12816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
45	43, 44	eqsstrri 4001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
46		simpl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
47	45, 46	sseldi 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
48		ge0xmulcl 12845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
49	42, 47, 48	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
50	49, 18	fmptd 6872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
51	50	frnd 6515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞))
52	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (0[,]+∞) ⊆ ℝ*)
53		cnrest2 21888	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
54	41, 51, 52, 53	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
55	40, 54	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
56	1	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
57	55, 56	eleqtrrdi 2924	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
58	57, 43	eleq2s 2931	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0(,)+∞) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
59	58	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
60		xrge0mulc1cn.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61		0xr 10682	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
62		pnfxr 10689	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
63		0ltpnf 12511	. . . 4 ⊢ 0 < +∞
64		elicoelioo 30495	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞))))
65	61, 62, 63, 64	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
66	60, 65	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
67	26, 59, 66	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  {csn 4560   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547  ran crn 5550   ↾ cres 5551  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℝ⁺crp 12383   ·_e cxmu 12500  (,)cioo 12732  [,)cico 12734  [,]cicc 12735   ↾_t crest 16688  ordTopcordt 16766  TopOnctopon 21512   Cn ccn 21826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-rest 16690  df-topgen 16711  df-ordt 16768  df-ps 17804  df-tsr 17805  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cn 21829  df-cnp 21830

This theorem is referenced by:  esummulc1  31335