MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0neqmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0neqmnf 12261
Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0neqmnf (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0neqmnf
StepHypRef Expression
1 mnflt0 11944 . . . . 5 -∞ < 0
2 mnfxr 10081 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
3 0xr 10071 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
4 xrltnle 10090 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
52, 3, 4mp2an 707 . . . . 5 (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
61, 5mpbi 220 . . . 4 ¬ 0 ≤ -∞
7 simp2 1060 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞) → 0 ≤ -∞)
87con3i 150 . . . 4 (¬ 0 ≤ -∞ → ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞))
9 pnfxr 10077 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
10 elicc1 12204 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
113, 9, 10mp2an 707 . . . . . 6 (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞))
1211biimpi 206 . . . . 5 (-∞ ∈ (0[,]+∞) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞))
1312con3i 150 . . . 4 (¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞) → ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞))
146, 8, 13mp2b 10 . . 3 ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15 nelneq 2723 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)) → ¬ 𝐴 = -∞)
1614, 15mpan2 706 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
1716neqned 2798 1 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  0cc0 9921  +∞cpnf 10056  -∞cmnf 10057  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  [,]cicc 12163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-icc 12167
This theorem is referenced by:  xrge0nre  12262  xrge0adddir  29666  xrge0npcan  29668  hasheuni  30121  esumcvgre  30127  carsgclctunlem2  30355  sge0nemnf  40400
  Copyright terms: Public domain W3C validator