Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0omnd 29839
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 19836 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 18254 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 ovex 6718 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V
5 xrge0base 29813 . . . 4 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6 xrge0le 29816 . . . 4 ≤ = (le‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 iccssxr 12294 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
87sseli 3632 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 xrleid 12021 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥𝑥)
117sseli 3632 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]+∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12 xrletri3 12023 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
1312biimprd 238 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
148, 11, 13syl2an 493 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
157sseli 3632 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
16 xrletr 12027 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
178, 11, 15, 16syl3an 1408 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
184, 5, 6, 10, 14, 17isposi 17003 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset
19 xrletri 12022 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
208, 11, 19syl2an 493 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
2120rgen2a 3006 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)
225, 6istos 17082 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)))
2318, 21, 22mpbir2an 975 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset
24 xleadd1a 12121 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
2524ex 449 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
268, 11, 15, 25syl3an 1408 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2726rgen3 3005 . 2 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
28 xrge0plusg 29815 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
295, 28, 6isomnd 29829 . 2 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
303, 23, 27, 29mpbir3an 1263 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  *cxr 10111  cle 10113   +𝑒 cxad 11982  [,]cicc 12216  s cress 15905  *𝑠cxrs 16207  Posetcpo 16987  Tosetctos 17080  Mndcmnd 17341  CMndccmn 18239  oMndcomnd 29825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-icc 12220  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-0g 16149  df-xrs 16209  df-poset 16993  df-toset 17081  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-cmn 18241  df-omnd 29827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator