Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0omnd 30639
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 20515 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 18851 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 ovex 7178 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V
5 xrge0base 30599 . . . 4 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6 xrge0le 30602 . . . 4 ≤ = (le‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 eliccxr 12811 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87xrleidd 12533 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥𝑥)
9 eliccxr 12811 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]+∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 xrletri3 12535 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
1110biimprd 249 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
127, 9, 11syl2an 595 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
13 eliccxr 12811 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14 xrletr 12539 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
157, 9, 13, 14syl3an 1152 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
164, 5, 6, 8, 12, 15isposi 17554 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset
17 xrletri 12534 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
187, 9, 17syl2an 595 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
1918rgen2 3200 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)
205, 6istos 17633 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)))
2116, 19, 20mpbir2an 707 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset
22 xleadd1a 12634 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
2322ex 413 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
247, 9, 13, 23syl3an 1152 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2524rgen3 3201 . 2 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26 xrge0plusg 30601 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
275, 26, 6isomnd 30629 . 2 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
283, 21, 25, 27mpbir3an 1333 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  *cxr 10662  cle 10664   +𝑒 cxad 12493  [,]cicc 12729  s cress 16472  *𝑠cxrs 16761  Posetcpo 17538  Tosetctos 17631  Mndcmnd 17899  CMndccmn 18835  oMndcomnd 30625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-icc 12733  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-0g 16703  df-xrs 16763  df-poset 17544  df-toset 17632  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-cmn 18837  df-omnd 30627
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator