Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tmdOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tmdOLD 29797
 Description: The extended nonnegative real numbers monoid is a topological monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
xrge0tmdOLD (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Proof of Theorem xrge0tmdOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 19720 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 18140 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 xrge0tps 29794 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5 eqeq1 2625 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑥 = 0))
6 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (log‘𝑦) = (log‘𝑥))
76negeqd 10227 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → -(log‘𝑦) = -(log‘𝑥))
85, 7ifbieq2d 4088 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)) = if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
98cbvmptv 4715 . . 3 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
10 eqid 2621 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
11 eqid 2621 . . 3 ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
129, 10, 11xrge0pluscn 29792 . 2 ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ×t ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
13 xrsbas 19694 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
14 eqid 2621 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
15 xrsadd 19695 . . . . 5 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
16 xaddf 12006 . . . . . 6 +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
17 ffn 6007 . . . . . 6 ( +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*))
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5 +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*)
19 iccssxr 12206 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2013, 14, 15, 18, 19ressplusf 29459 . . . 4 (+𝑓‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
2120eqcomi 2630 . . 3 ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (+𝑓‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
22 xrge0base 29494 . . . 4 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
23 ovex 6638 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
24 xrstset 19697 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
2514, 24resstset 15978 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
2623, 25ax-mp 5 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2722, 26topnval 16027 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2821, 27istmd 21801 . 2 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp ∧ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ×t ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
293, 4, 12, 28mpbir3an 1242 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3189  ifcif 4063   ↦ cmpt 4678   × cxp 5077   ↾ cres 5081   Fn wfn 5847  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889  +∞cpnf 10023  ℝ*cxr 10025   ≤ cle 10027  -cneg 10219   +𝑒 cxad 11896  [,]cicc 12128   ↾s cress 15793  TopSetcts 15879   ↾t crest 16013  ordTopcordt 16091  ℝ*𝑠cxrs 16092  +𝑓cplusf 17171  Mndcmnd 17226  CMndccmn 18125  TopSpctps 20660   Cn ccn 20951   ×t ctx 21286  TopMndctmd 21797  logclog 24222 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-ordt 16093  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-ps 17132  df-tsr 17133  df-plusf 17173  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-subrg 18710  df-abv 18749  df-lmod 18797  df-scaf 18798  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-tmd 21799  df-tgp 21800  df-trg 21886  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-nm 22310  df-ngp 22311  df-nrg 22313  df-nlm 22314  df-ii 22603  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator