MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0tsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsms 22545
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsms.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsms.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsms.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsms.s 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
xrge0tsms (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsms
Dummy variables 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsms.s . . . . 5 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < )
2 iccssxr 12198 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 xrge0tsms.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4 xrsbas 19681 . . . . . . . . . . . 12 * = (Base‘ℝ*𝑠)
53, 4ressbas2 15852 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
87xrge0subm 19706 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
9 xrex 11773 . . . . . . . . . . . . . . 15 * ∈ V
10 difexg 4768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
12 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13 ge0nemnf 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
1412, 13jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
15 elxrge0 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
16 eldifsn 4287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
1714, 15, 163imtr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1817ssriv 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
19 ressabs 15860 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2011, 18, 19mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
213, 20eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
227xrs10 19704 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
2321, 22subm0 17277 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g𝐺))
248, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
25 xrge0cmn 19707 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
263, 25eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ CMnd
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
28 elfpw 8212 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ Fin))
2928simprbi 480 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
3029adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
31 xrge0tsms.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3228simplbi 476 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠𝐴)
33 fssres 6027 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
3431, 32, 33syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
35 c0ex 9978 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
3734, 30, 36fdmfifsupp 8229 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠) finSupp 0)
386, 24, 27, 30, 34, 37gsumcl 18237 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
392, 38sseldi 3581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ ℝ*)
40 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
4139, 40fmptd 6340 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
42 frn 6010 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
44 supxrcl 12088 . . . . . 6 (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4543, 44syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
461, 45syl5eqel 2702 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
47 0ss 3944 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ 𝐴
48 0fin 8132 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
49 elfpw 8212 . . . . . . . 8 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
5047, 48, 49mpbir2an 954 . . . . . . 7 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
51 0cn 9976 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
52 reseq2 5351 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
53 res0 5360 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
5452, 53syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = ∅)
5554oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
5624gsum0 17199 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg ∅) = 0
5755, 56syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = 0)
5840, 57elrnmpt1s 5333 . . . . . . 7 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5950, 51, 58mp2an 707 . . . . . 6 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
60 supxrub 12097 . . . . . 6 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
6143, 59, 60sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
6261, 1syl6breqr 4655 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
63 elxrge0 12223 . . . 4 (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆))
6446, 62, 63sylanbrc 697 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (0[,]+∞))
65 letop 20920 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
66 ovex 6632 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
67 elrest 16009 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
6865, 66, 67mp2an 707 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
69 inss1 3811 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝑣
7069sseli 3579 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → 𝑆𝑣)
71 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
72 reex 9971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
73 elrestr 16010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
7465, 72, 73mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
7571, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
76 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7776xrtgioo 22517 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7875, 77syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)))
79 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆𝑣)
80 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
8179, 80elind 3776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
82 tg2 20680 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
8378, 81, 82syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
84 ioof 12213 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
85 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
86 ovelrn 6763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤)))
8784, 85, 86mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤))
88 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
90 inss1 3811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∩ ℝ) ⊆ 𝑣
9189, 90syl6ss 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ 𝑣)
9226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
93 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
94 elfpw 8212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
9594simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
9693, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
97 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝜑)
9897, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
9994simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
10093, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦𝐴)
10198, 100fssresd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
10235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 0 ∈ V)
103101, 96, 102fdmfifsupp 8229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦) finSupp 0)
1046, 24, 92, 96, 101, 103gsumcl 18237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1052, 104sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
106 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
108 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
109 ssfi 8124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
11096, 108, 109syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧 ∈ Fin)
111108, 100sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝐴)
11298, 111fssresd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
113112, 110, 102fdmfifsupp 8229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧) finSupp 0)
1146, 24, 92, 110, 112, 113gsumcl 18237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1152, 114sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
116 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
117 xrge0tsms.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐴𝑉)
11897, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐴𝑉)
1193, 118, 98, 93, 108xrge0gsumle 22544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
120107, 115, 105, 116, 119xrltletrd 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
12197, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
122 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12497, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
125 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
126 reseq2 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑦 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑦))
127126oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
12840, 127elrnmpt1s 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
12993, 125, 128sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
130 supxrub 12097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
131124, 129, 130syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
132131, 1syl6breqr 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ 𝑆)
133 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤))
134 eliooord 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
136135simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 < 𝑤)
137136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 < 𝑤)
138105, 121, 123, 132, 137xrlelttrd 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)
139 elioo1 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
140107, 123, 139syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
141105, 120, 138, 140mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤))
14291, 141sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
143142, 104elind 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
144143anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
145144expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
146145ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
147135simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < 𝑆)
148147, 1syl6breq 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
14943ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
150 supxrlub 12098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
151149, 106, 150syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
152148, 151mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
153 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
154153rgenw 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
155 reseq2 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 𝑧 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑧))
156155oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
157156cbvmptv 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
158 breq2 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) → (𝑟 < 𝑤𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
159157, 158rexrnmpt 6325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
160154, 159ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
161152, 160sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
162146, 161reximddv 3012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
163162expr 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
164 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤)))
165 sseq1 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
166164, 165anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))))
167166imbi1d 331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
168163, 167syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
169168rexlimdvva 3031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
17087, 169syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
171170rexlimdv 3023 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
17283, 171mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
173 simplrl 799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
174 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 = +∞)
175 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆𝑣)
176174, 175eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → +∞ ∈ 𝑣)
177 pnfnei 20934 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
178173, 176, 177syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
179 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
180179ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
18126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐺 ∈ CMnd)
18295ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
183 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝜑)
184183, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
18599ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦𝐴)
186184, 185fssresd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
18735a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 0 ∈ V)
188186, 182, 187fdmfifsupp 8229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦) finSupp 0)
1896, 24, 181, 182, 186, 188gsumcl 18237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1902, 189sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
191 rexr 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
192191ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
193192ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
194 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝑦)
195182, 194, 109syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ Fin)
196194, 185sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐴)
197184, 196fssresd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
198197, 195, 187fdmfifsupp 8229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧) finSupp 0)
1996, 24, 181, 195, 197, 198gsumcl 18237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
2002, 199sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
201 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
202183, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐴𝑉)
203 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
2043, 202, 184, 203, 194xrge0gsumle 22544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
205193, 200, 190, 201, 204xrltletrd 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
206 pnfge 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ* → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
207190, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
208 pnfxr 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
209 elioc1 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
210193, 208, 209sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
211190, 205, 207, 210mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞))
212180, 211sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
213212, 189elind 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
214213expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
215214ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
216 ltpnf 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞)
217216ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < +∞)
218 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = +∞)
219217, 218breqtrrd 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < 𝑆)
220219, 1syl6breq 4654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
22143ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
222221, 192, 150syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
223220, 222mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
224223, 160sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
225215, 224reximddv 3012 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
226178, 225rexlimddv 3028 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
227 ge0nemnf 11947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆) → 𝑆 ≠ -∞)
22846, 62, 227syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ≠ -∞)
22946, 228jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
230229adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
231 xrnemnf 11895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
232230, 231sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
233172, 226, 232mpjaodan 826 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
234233expr 642 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
23570, 234syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
236 eleq2 2687 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
237 eleq2 2687 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
238237imbi2d 330 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
239238rexralbidv 3051 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
240236, 239imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
241235, 240syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
242241rexlimdva 3024 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
24368, 242syl5bi 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
244243ralrimiv 2959 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
245 xrstset 19684 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
2463, 245resstset 15967 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺))
24766, 246ax-mp 5 . . . . 5 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺)
2486, 247topnval 16016 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘𝐺)
249 eqid 2621 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
25026a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
251 xrstps 20923 . . . . . . 7 *𝑠 ∈ TopSp
252 resstps 20901 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
253251, 66, 252mp2an 707 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
2543, 253eqeltri 2694 . . . . 5 𝐺 ∈ TopSp
255254a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2566, 248, 249, 250, 255, 117, 31eltsms 21846 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
25764, 244, 256mpbir2and 956 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
258 letsr 17148 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
259 ordthaus 21098 . . . . 5 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
260258, 259mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
261 resthaus 21082 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
262260, 66, 261sylancl 693 . . 3 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2636, 250, 255, 117, 31, 248, 262haustsms2 21850 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
264257, 263mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  ran crn 5075  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  (,)cioo 12117  (,]cioc 12118  [,]cicc 12120  Basecbs 15781  s cress 15782  TopSetcts 15868  t crest 16002  topGenctg 16019  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  ordTopcordt 16080  *𝑠cxrs 16081   TosetRel ctsr 17120  SubMndcsubmnd 17255  CMndccmn 18114  Topctop 20617  TopSpctps 20619  Hauscha 21022   tsums ctsu 21839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-ordt 16082  df-xrs 16083  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-ps 17121  df-tsr 17122  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-cn 20941  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-tsms 21840
This theorem is referenced by:  xrge0tsms2  22546  sge0tsms  39904
  Copyright terms: Public domain W3C validator