Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsmsd 30094
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmsd.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsmsd.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsmsd.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmsd.s (𝜑𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsd (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsmsd
Dummy variables 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmsd.s . . . . 5 (𝜑𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
2 iccssxr 12449 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 xrge0tsmsd.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4 xrsbas 19964 . . . . . . . . . . . 12 * = (Base‘ℝ*𝑠)
53, 4ressbas2 16133 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
8 xrge0cmn 19990 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
93, 8eqeltri 2835 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ CMnd
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
11 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 xrge0tsmsd.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
13 elfpw 8433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ Fin))
1413simplbi 478 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠𝐴)
15 fssres 6231 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
1612, 14, 15syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
17 elinel2 3943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
1817adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
19 fvexd 6364 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
2016, 18, 19fdmfifsupp 8450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠) finSupp (0g𝐺))
216, 7, 10, 11, 16, 20gsumcl 18516 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
222, 21sseldi 3742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ ℝ*)
23 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
2422, 23fmptd 6548 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
25 frn 6214 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
27 supxrcl 12338 . . . . . 6 (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
291, 28eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
30 0ss 4115 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ 𝐴
31 0fin 8353 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
32 elfpw 8433 . . . . . . . 8 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
3330, 31, 32mpbir2an 993 . . . . . . 7 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
34 0cn 10224 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
35 reseq2 5546 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
36 res0 5555 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
3735, 36syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = ∅)
3837oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
39 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
4039xrge0subm 19989 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
41 xrex 12022 . . . . . . . . . . . . . . 15 * ∈ V
42 difexg 4960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
44 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45 ge0nemnf 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
4644, 45jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
47 elxrge0 12474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
48 eldifsn 4462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
4946, 47, 483imtr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
5049ssriv 3748 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
51 ressabs 16141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5243, 50, 51mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
533, 52eqtr4i 2785 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
5439xrs10 19987 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
5553, 54subm0 17557 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g𝐺))
5640, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
5756gsum0 17479 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg ∅) = 0
5838, 57syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = 0)
5923, 58elrnmpt1s 5528 . . . . . . 7 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
6033, 34, 59mp2an 710 . . . . . 6 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
61 supxrub 12347 . . . . . 6 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
6226, 60, 61sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
6362, 1breqtrrd 4832 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
64 elxrge0 12474 . . . 4 (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆))
6529, 63, 64sylanbrc 701 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (0[,]+∞))
66 letop 21212 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
67 ovex 6841 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
68 elrest 16290 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
6966, 67, 68mp2an 710 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
70 elinel1 3942 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → 𝑆𝑣)
71 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
72 reex 10219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
73 elrestr 16291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
7466, 72, 73mp3an12 1563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
7571, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
76 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7776xrtgioo 22810 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7875, 77syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)))
79 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆𝑣)
80 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
8179, 80elind 3941 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
82 tg2 20971 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
8378, 81, 82syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
84 ioof 12464 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
85 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
86 ovelrn 6975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤)))
8784, 85, 86mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤))
88 simprrr 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
8988adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
90 inss1 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∩ ℝ) ⊆ 𝑣
9189, 90syl6ss 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ 𝑣)
929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
93 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
94 elinel2 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
96 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝜑)
9796, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
98 elfpw 8433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
9998simplbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
10093, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦𝐴)
10197, 100fssresd 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
102 ffun 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) → Fun 𝐹)
10312, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → Fun 𝐹)
104103ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → Fun 𝐹)
105104ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → Fun 𝐹)
106 c0ex 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ V
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 0 ∈ V)
108105, 95, 107resfifsupp 8468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦) finSupp 0)
1096, 56, 92, 95, 101, 108gsumcl 18516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1102, 109sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
111 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
112111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
113 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
114 simprrr 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
115114, 100sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝐴)
11697, 115fssresd 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
117 ssfi 8345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
11895, 114, 117syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧 ∈ Fin)
119 fvexd 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (0g𝐺) ∈ V)
120116, 118, 119fdmfifsupp 8450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
1216, 7, 92, 113, 116, 120gsumcl 18516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1222, 121sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
123 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
124 xrge0tsmsd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐴𝑉)
12596, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐴𝑉)
1263, 125, 97, 93, 114xrge0gsumle 22837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
127112, 122, 110, 123, 126xrltletrd 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
12896, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
129 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
130129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
13196, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
132 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
133 reseq2 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑦 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑦))
134133oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
13523, 134elrnmpt1s 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
13693, 132, 135sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
137 supxrub 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
138131, 136, 137syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
13996, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
140138, 139breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ 𝑆)
141 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤))
142 eliooord 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
144143simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 < 𝑤)
145144adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 < 𝑤)
146110, 128, 130, 140, 145xrlelttrd 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)
147 elioo1 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
148112, 130, 147syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
149110, 127, 146, 148mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤))
15091, 149sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
151150, 109elind 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
152151anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
153152expr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
154153ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
155143simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < 𝑆)
1561ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
157155, 156breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
15826ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
159 supxrlub 12348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
160158, 111, 159syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
161157, 160mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
162 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
163162rgenw 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
164 reseq2 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 𝑧 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑧))
165164oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
166165cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
167 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) → (𝑟 < 𝑤𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
168166, 167rexrnmpt 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
169163, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
170161, 169sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
171154, 170reximddv 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
172171expr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
173 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤)))
174 sseq1 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
175173, 174anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))))
176175imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
177172, 176syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
178177rexlimdvva 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
17987, 178syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
180179rexlimdv 3168 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
18183, 180mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
182 simplrl 819 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
183 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 = +∞)
184 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆𝑣)
185183, 184eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → +∞ ∈ 𝑣)
186 pnfnei 21226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
187182, 185, 186syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
188 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
189188ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
1909a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐺 ∈ CMnd)
191 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
192 simp-5l 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝜑)
193192, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
19499ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦𝐴)
195193, 194fssresd 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
19694ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
197 fvexd 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (0g𝐺) ∈ V)
198195, 196, 197fdmfifsupp 8450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦) finSupp (0g𝐺))
1996, 7, 190, 191, 195, 198gsumcl 18516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
2002, 199sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
201 rexr 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
202201ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
203202ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
204 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
205 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝑦)
206205, 194sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐴)
207193, 206fssresd 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
208196, 205, 117syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ Fin)
209207, 208, 197fdmfifsupp 8450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
2106, 7, 190, 204, 207, 209gsumcl 18516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
2112, 210sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
212 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
213192, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐴𝑉)
2143, 213, 193, 191, 205xrge0gsumle 22837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
215203, 211, 200, 212, 214xrltletrd 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
216 pnfge 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ* → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
217200, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
218 pnfxr 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
219 elioc1 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
220203, 218, 219sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
221200, 215, 217, 220mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞))
222189, 221sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
223222, 199elind 3941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
224223expr 644 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
225224ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
226 ltpnf 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞)
227226ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < +∞)
228 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = +∞)
229227, 228breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < 𝑆)
2301ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
231229, 230breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
23226ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
233232, 202, 159syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
234231, 233mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
235234, 169sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
236225, 235reximddv 3156 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
237187, 236rexlimddv 3173 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
238 ge0nemnf 12197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆) → 𝑆 ≠ -∞)
23929, 63, 238syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ≠ -∞)
24029, 239jca 555 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
241240adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
242 xrnemnf 12144 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
243241, 242sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
244181, 237, 243mpjaodan 862 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
245244expr 644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
24670, 245syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
247 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
248 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
249248imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
250249rexralbidv 3196 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
251247, 250imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
252246, 251syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
253252rexlimdva 3169 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
25469, 253syl5bi 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
255254ralrimiv 3103 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
256 xrstset 19967 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
2573, 256resstset 16248 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺))
25867, 257ax-mp 5 . . . . 5 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺)
2596, 258topnval 16297 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘𝐺)
260 eqid 2760 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2619a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
262 xrstps 21215 . . . . . . 7 *𝑠 ∈ TopSp
263 resstps 21193 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
264262, 67, 263mp2an 710 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
2653, 264eqeltri 2835 . . . . 5 𝐺 ∈ TopSp
266265a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2676, 259, 260, 261, 266, 124, 12eltsms 22137 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
26865, 255, 267mpbir2and 995 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
269 letsr 17428 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
270 ordthaus 21390 . . . . 5 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
271269, 270mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
272 resthaus 21374 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
273271, 67, 272sylancl 697 . . 3 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2746, 261, 266, 124, 12, 259, 273haustsms2 22141 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
275268, 274mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  ran crn 5267  cres 5268  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  supcsup 8511  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  (,)cioo 12368  (,]cioc 12369  [,]cicc 12371  Basecbs 16059  s cress 16060  TopSetcts 16149  t crest 16283  topGenctg 16300  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  ordTopcordt 16361  *𝑠cxrs 16362   TosetRel ctsr 17400  SubMndcsubmnd 17535  CMndccmn 18393  Topctop 20900  TopSpctps 20938  Hauscha 21314   tsums ctsu 22130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-ntr 21026  df-nei 21104  df-cn 21233  df-haus 21321  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tsms 22131
This theorem is referenced by:  esumval  30417  esumel  30418  esumsnf  30435
  Copyright terms: Public domain W3C validator