Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsmseq 30096
Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmseq.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsmseq.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmseq.h (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmseq (𝜑𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem xrge0tsmseq
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmseq.h . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2 xrge0tsmseq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
3 xrge0tsmseq.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4 xrge0tsmseq.g . . . . . 6 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
54xrge0tsms2 22839 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1𝑜)
62, 3, 5syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1𝑜)
7 en1eqsn 8355 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1𝑜) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
81, 6, 7syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
98unieqd 4598 . 2 (𝜑 (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
10 unisng 4604 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → {𝐶} = 𝐶)
111, 10syl 17 . 2 (𝜑 {𝐶} = 𝐶)
129, 11eqtr2d 2795 1 (𝜑𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  {csn 4321   cuni 4588   class class class wbr 4804  wf 6045  (class class class)co 6813  1𝑜c1o 7722  cen 8118  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  [,]cicc 12371  s cress 16060  *𝑠cxrs 16362   tsums ctsu 22130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-ntr 21026  df-nei 21104  df-cn 21233  df-haus 21321  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tsms 22131
This theorem is referenced by:  esumid  30415
  Copyright terms: Public domain W3C validator