MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfmsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrinfmsslem 12089
Description: Lemma for xrinfmss 12091. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmsslem ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 3130 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥))
2 rexeq 3131 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
32imbi2d 330 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
43ralbidv 2981 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
51, 4anbi12d 746 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))))
65rexbidv 3046 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))))
7 infm3 10934 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
8 rexr 10037 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
98anim1i 591 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
109reximi2 3005 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
117, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
12 elxr 11902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞))
13 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
14 ssel 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ))
15 ltpnf 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < +∞)
1614, 15syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 < +∞))
1716ancld 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴𝑧 < +∞)))
1817eximdv 1843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 < +∞)))
19 n0 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
20 df-rex 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞ ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 < +∞))
2118, 19, 203imtr4g 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
2221imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)
2322a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
2423ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = +∞) → (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
25 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = +∞ → (𝑥 < 𝑦𝑥 < +∞))
26 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = +∞ → (𝑧 < 𝑦𝑧 < +∞))
2726rexbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = +∞ → (∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
2825, 27imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = +∞ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = +∞) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)))
3024, 29mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = +∞) → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3130ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
33 nltmnf 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → ¬ 𝑥 < -∞)
35 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦𝑥 < -∞))
3635notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = -∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < -∞))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < -∞))
3834, 37mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → ¬ 𝑥 < 𝑦)
3938pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
4039ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4140ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4213, 32, 413jaod 1389 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4312, 42syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4443ex 450 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
4544ralimdv2 2956 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4645anim2d 588 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
4746reximdva 3012 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
48473adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
4911, 48mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
50493expa 1262 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
51 ralnex 2987 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
52 rexnal 2990 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
53 ssel2 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 letric 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
5554ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
5655ord 392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
5753, 56sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
5857an32s 845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
5958reximdva 3012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6052, 59syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6160ralimdva 2957 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6261imp 445 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6351, 62sylan2br 493 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
64 breq1 4621 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
6564cbvrexv 3163 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥)
6665ralbii 2975 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥)
6763, 66sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥)
68 mnfxr 10048 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
69 ssel 3581 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
70 rexr 10037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
71 nltmnf 11915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
7369, 72syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 < -∞))
7473ralrimiv 2960 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞)
7574adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞)
76 peano2rem 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
77 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝑧𝑥𝑧 ≤ (𝑦 − 1)))
7877rexbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1)))
7978rspcva 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
8079adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ)) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
8180ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 − 1) ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
8276, 81sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
83 ssel2 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
84 ltm1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) < 𝑦)
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) < 𝑦)
8676ancri 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
87 lelttr 10080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
88873expb 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
8986, 88sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
9085, 89mpan2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → 𝑧 < 𝑦))
9183, 90sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → 𝑧 < 𝑦))
9291an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → 𝑧 < 𝑦))
9392reximdva 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
9493adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
9582, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
9695exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9796a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
9897com4r 94 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
99 0re 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
100 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝑧𝑥𝑧 ≤ 0))
101100rexbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0))
102101rspcva 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0)
10399, 102mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0)
10483, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 < +∞)
105104a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ≤ 0 → 𝑧 < +∞))
106105reximdva 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
107103, 106mpan9 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)
108107, 27syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = +∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
109108a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = +∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
110109expd 452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = +∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
111 xrltnr 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
11268, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ -∞ < -∞
113 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = -∞ → (-∞ < 𝑦 ↔ -∞ < -∞))
114112, 113mtbiri 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = -∞ → ¬ -∞ < 𝑦)
115114pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -∞ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
1161152a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
11798, 110, 1163jaoi 1388 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
11812, 117sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
119118com13 88 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
120119imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
121120ralrimiv 2960 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
12275, 121jca 554 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
123 breq2 4622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -∞))
124123notbid 308 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -∞))
125124ralbidv 2981 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞))
126 breq1 4621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
127126imbi1d 331 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
128127ralbidv 2981 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
129125, 128anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
130129rspcev 3298 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13168, 122, 130sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13267, 131syldan 487 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
133132adantlr 750 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13450, 133pm2.61dan 831 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
135 pnfxr 10044 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
136 ral0 4053 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞
137 pnfnlt 11914 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
138137pm2.21d 118 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
139138rgen 2917 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
140136, 139pm3.2i 471 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
141 breq2 4622 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < +∞))
142141notbid 308 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
143142ralbidv 2981 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞))
144 breq1 4621 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ +∞ < 𝑦))
145144imbi1d 331 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦) ↔ (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
146145ralbidv 2981 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
147143, 146anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → ((∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))))
148147rspcev 3298 . . . . . 6 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
149135, 140, 148mp2an 707 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
150149a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
1516, 134, 150pm2.61ne 2875 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
152151adantl 482 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
153 ssel 3581 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
154153, 71syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 < -∞))
155154ralrimiv 2960 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞)
156 breq1 4621 . . . . . . 7 (𝑧 = -∞ → (𝑧 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
157156rspcev 3298 . . . . . 6 ((-∞ ∈ 𝐴 ∧ -∞ < 𝑦) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
158157ex 450 . . . . 5 (-∞ ∈ 𝐴 → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
159158ralrimivw 2962 . . . 4 (-∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
160155, 159anim12i 589 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
16168, 160, 130sylancr 694 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
162152, 161jaodan 825 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3559  c0 3896   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889  +∞cpnf 10023  -∞cmnf 10024  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221
This theorem is referenced by:  xrinfmss  12091
  Copyright terms: Public domain W3C validator