MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletrd 11937
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4 (𝜑𝐴𝐵)
xrletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrletrd (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem xrletrd
StepHypRef Expression
1 xrletrd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 xrletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrletr 11933 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
81, 2, 7mp2and 714 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4613  *cxr 10017  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by:  xaddge0  12031  ixxub  12138  ixxlb  12139  limsupval2  14145  0ram  15648  xpsdsval  22096  xblss2ps  22116  xblss2  22117  comet  22228  stdbdxmet  22230  nmoleub  22445  metnrmlem1  22570  nmoleub2lem  22822  ovollb2lem  23163  ovoliunlem2  23178  ovolscalem1  23188  ovolicc1  23191  ovolicc2lem4  23195  voliunlem2  23226  uniioombllem3  23259  itg2uba  23416  itg2lea  23417  itg2split  23422  itg2monolem3  23425  itg2gt0  23433  lhop1lem  23680  dvfsumlem2  23694  dvfsumlem3  23695  dvfsumlem4  23696  deg1addle2  23766  deg1sublt  23774  nmooge0  27471  metideq  29718  measiun  30062  omssubadd  30143  carsgclctunlem2  30162  mblfinlem1  33078  ismblfin  33082  ftc1anclem8  33124  ftc1anc  33125  hbtlem2  37175  idomodle  37255  xle2addd  39016  xralrple2  39034  infleinflem1  39050  xralrple4  39053  xralrple3  39054  suplesup2  39056  infleinf2  39105  inficc  39172  limsupequzlem  39358  limsupvaluz2  39374  supcnvlimsup  39376  fourierdlem1  39632  sge0cl  39905  sge0lefi  39922  sge0iunmptlemre  39939  sge0isum  39951  omeunle  40037  omeiunle  40038  caratheodorylem2  40048  hoicvrrex  40077  ovnsubaddlem1  40091  ovolval5lem1  40173  pimdecfgtioo  40234  pimincfltioo  40235
  Copyright terms: Public domain W3C validator