Theorem xrletrd 12558

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 12554	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  ℝ^*cxr 10677   ≤ cle 10679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684

This theorem is referenced by:  xaddge0  12654  ixxub  12762  ixxlb  12763  limsupval2  14840  0ram  16359  xpsdsval  22994  xblss2ps  23014  xblss2  23015  comet  23126  stdbdxmet  23128  nmoleub  23343  metnrmlem1  23470  nmoleub2lem  23721  ovollb2lem  24092  ovoliunlem2  24107  ovolscalem1  24117  ovolicc1  24120  ovolicc2lem4  24124  voliunlem2  24155  uniioombllem3  24189  itg2uba  24347  itg2lea  24348  itg2split  24353  itg2monolem3  24356  itg2gt0  24364  lhop1lem  24613  dvfsumlem2  24627  dvfsumlem3  24628  dvfsumlem4  24629  deg1addle2  24699  deg1sublt  24707  nmooge0  28547  metideq  31137  measiun  31481  omssubadd  31562  carsgclctunlem2  31581  mblfinlem1  34933  ismblfin  34937  ftc1anclem8  34978  ftc1anc  34979  hbtlem2  39730  idomodle  39802  xle2addd  41610  xralrple2  41628  infleinflem1  41644  xralrple4  41647  xralrple3  41648  suplesup2  41650  infleinf2  41694  infxrlesupxr  41716  inficc  41816  limsupequzlem  42009  limsupvaluz2  42025  supcnvlimsup  42027  liminfval2  42055  liminflelimsuplem  42062  limsupgtlem  42064  fourierdlem1  42400  sge0cl  42670  sge0lefi  42687  sge0iunmptlemre  42704  sge0isum  42716  omeunle  42805  omeiunle  42806  caratheodorylem2  42816  hoicvrrex  42845  ovnsubaddlem1  42859  ovolval5lem1  42941  pimdecfgtioo  43002  pimincfltioo  43003