MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltle 11933
Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem xrltle
StepHypRef Expression
1 orc 400 . 2 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
2 xrleloe 11928 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
31, 2syl5ibr 236 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  *cxr 10024   < clt 10025  cle 10026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031
This theorem is referenced by:  xrletri  11935  xrletr  11940  qextltlem  11983  xmulge0  12064  supxrunb1  12099  ico0  12170  ioc0  12171  ioossicc  12208  icossicc  12209  iocssicc  12210  ioossico  12211  snunioo  12247  snunico  12248  snunioc  12249  ioopnfsup  12610  icopnfsup  12611  hashnnn0genn0  13078  pcadd2  15525  leordtval2  20935  lecldbas  20942  xblss2ps  22125  xblss2  22126  blhalf  22129  blssps  22148  blss  22149  blcls  22230  stdbdxmet  22239  stdbdmopn  22242  metcnpi3  22270  blcvx  22520  tgqioo  22522  xrsmopn  22534  metdcnlem  22558  metnrmlem1a  22580  bndth  22676  ovolgelb  23167  icombl  23251  ioorcl2  23259  ioorf  23260  ioorinv2  23262  volivth  23294  itg2seq  23428  itg2monolem2  23437  itg2cnlem2  23448  dvferm1lem  23664  dvferm2lem  23666  dvferm  23668  dvivthlem1  23688  lhop2  23695  radcnvle  24091  tanord1  24200  dvloglem  24307  iocinif  29405  difioo  29406  esumpinfsum  29938  omssubadd  30161  elicc3  31980  tan2h  33060  heicant  33103  itg2addnclem  33120  ftc1anclem7  33150  ioounsn  37303  radcnvrat  38022  xrltled  38973  ioossioc  39147  ioossioobi  39177  fouriersw  39776  iccpartleu  40683  iccpartgel  40684  iccpartnel  40693
  Copyright terms: Public domain W3C validator