Theorem xrltle 12541

Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem xrltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 863	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		xrleloe 12536	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	syl5ibr 248	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674   ≤ cle 10675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680

This theorem is referenced by:  xrltled  12542  xrletri  12545  xrletr  12550  qextltlem  12594  xmulge0  12676  supxrunb1  12711  ico0  12783  ioc0  12784  ioossicc  12821  icossicc  12823  iocssicc  12824  ioossico  12825  snunioo  12863  snunico  12864  ioopnfsup  13231  icopnfsup  13232  hashnnn0genn0  13702  leordtval2  21819  lecldbas  21826  blcls  23115  stdbdxmet  23124  stdbdmopn  23127  metcnpi3  23155  xrsmopn  23419  metnrmlem1a  23465  bndth  23561  ovolgelb  24080  icombl  24164  ioorf  24173  ioorinv2  24175  itg2seq  24342  tanord1  25120  dvloglem  25230  iocinif  30503  esumpinfsum  31336  omssubadd  31558  elicc3  33665  tan2h  34883  heicant  34926  itg2addnclem  34942  radcnvrat  40644  ioossioc  41764  ioossioobi  41791  fouriersw  42515  iccpartnel  43597