Theorem xrltled 12546

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 12545. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 12545	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  ℝ^*cxr 10677   < clt 10678   ≤ cle 10679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684

This theorem is referenced by:  qextltlem  12598  ioounsn  12866  snunioc  12869  pcadd2  16229  xblss2ps  23014  xblss2  23015  blhalf  23018  blssps  23037  blss  23038  blcvx  23409  tgqioo  23411  metdcnlem  23447  ioorcl2  24176  volivth  24211  itg2monolem2  24355  itg2cnlem2  24366  dvferm1lem  24584  dvferm2lem  24586  dvferm  24588  dvivthlem1  24608  lhop2  24615  radcnvle  25011  difioo  30508  heicant  34931  ftc1anclem7  34977  supxrgere  41607  suplesup  41613  infrpge  41625  xralrple2  41628  xrralrecnnle  41659  xrralrecnnge  41668  supxrunb3  41678  unb2ltle  41695  xrpnf  41768  snunioo1  41794  iccdifprioo  41798  iccdificc  41821  lptioo1  41919  limsupub  41991  limsuppnflem  41997  limsupre3lem  42019  xlimmnfvlem1  42119  xlimpnfvlem1  42123  fourierdlem46  42444  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem74  42472  fourierdlem75  42473  fourierdlem113  42511  ioorrnopnxrlem  42598  salexct2  42629  sge0iunmptlemre  42704  sge0rpcpnf  42710  sge0xaddlem1  42722  meaiuninc3v  42773  ovnsubaddlem1  42859  hoidmv1le  42883  hoidmvlelem5  42888  ovolval4lem1  42938  ovolval5lem1  42941  pimltmnf2  42986  pimgtpnf2  42992  preimageiingt  43005  preimaleiinlt  43006  iccpartleu  43595  iccpartgel  43596