MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltletr 12026
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltletr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrltletr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 12015 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
213adant1 1099 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
3 xrlttr 12011 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
43expcomd 453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
5 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
65biimpd 219 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
84, 7jaod 394 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
92, 8sylbid 230 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
109com23 86 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐶𝐴 < 𝐶)))
1110impd 446 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118
This theorem is referenced by:  xrltletrd  12030  xrre2  12039  xrre3  12040  ge0gtmnf  12041  xrltmin  12051  supxrunb1  12187  iooss2  12249  ioc0  12260  iccssioo  12280  icossico  12281  icossioo  12302  ioossioo  12303  icoun  12334  ioojoin  12341  lecldbas  21071  mnfnei  21073  icopnfcld  22618  ovolicopnf  23338  voliunlem3  23366  volsup  23370  ioombl  23379  volivth  23421  itg2seq  23554  itg2monolem2  23563  dvfsumrlimge0  23838  dvfsumrlim2  23840  itgsubst  23857  abelth  24240  tanord1  24328  rlimcnp  24737  rlimcnp2  24738  dchrisum0lem2a  25251  pnt  25348  joiniooico  29664  esumfsup  30260  relowlssretop  33341  heicant  33574  itg2gt0cn  33595  asindmre  33625  ioounsn  38112  snunioo2  40049  nltle2tri  41648
  Copyright terms: Public domain W3C validator