MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltletrd 11952
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
xrltletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrltletrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrltletrd
StepHypRef Expression
1 xrltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrltletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrltletr 11948 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 714 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4623  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040
This theorem is referenced by:  xlt2add  12049  xadddi2  12086  supxrre  12116  infxrre  12125  ixxlb  12155  elicore  12184  elico2  12195  elicc2  12196  caucvgrlem  14353  isnzr2hash  19204  xrsdsreclblem  19732  xblss2ps  22146  xblss2  22147  tgioo  22539  xrge0tsms  22577  xrhmeo  22685  ovoliunlem1  23210  ovoliun  23213  ioombl1lem2  23267  vitalilem4  23320  itg2monolem2  23458  itg2gt0  23467  dvferm1lem  23685  dvferm2lem  23687  lhop1lem  23714  pserdvlem2  24120  abelthlem3  24125  logtayl  24340  xrge0tsmsd  29612  esum2d  29978  relowlssretop  32882  itg2gt0cn  33136  areacirclem5  33175  xrge0nemnfd  39047  supxrgere  39048  supxrgelem  39052  infrpge  39066  xrralrecnnge  39112  supxrunb3  39122  icoopn  39197  limsupre  39309  limsupre3lem  39400  fourierdlem27  39688  fourierdlem87  39747  gsumge0cl  39925  sge0pr  39948  sge0ssre  39951  sge0xaddlem1  39987  pimiooltgt  40258  pimdecfgtioc  40262  preimageiingt  40267
  Copyright terms: Public domain W3C validator