MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltso 11959
Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri 11957 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥)))
2 xrlttr 11958 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
31, 2isso2i 5057 1 < Or ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   Or wor 5024  *cxr 10058   < clt 10059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064
This theorem is referenced by:  xrlttri2  11960  xrlttri3  11961  xrltne  11979  xmullem  12079  xmulasslem  12100  supxr  12128  supxrcl  12130  supxrun  12131  supxrmnf  12132  supxrunb1  12134  supxrunb2  12135  supxrub  12139  supxrlub  12140  infxrcl  12148  infxrlb  12149  infxrgelb  12150  xrinf0  12153  infmremnf  12158  limsupval  14186  limsupgval  14188  limsupgre  14193  ramval  15693  ramcl2lem  15694  prdsdsfn  16106  prdsdsval  16119  imasdsfn  16155  imasdsval  16156  prdsmet  22156  xpsdsval  22167  prdsbl  22277  tmsxpsval2  22325  nmoval  22500  xrge0tsms2  22619  metdsval  22631  iccpnfhmeo  22725  xrhmeo  22726  ovolval  23223  ovolf  23231  ovolctb  23239  itg2val  23476  mdegval  23804  mdegldg  23807  mdegxrf  23809  mdegcl  23810  aannenlem2  24065  nmooval  27588  nmoo0  27616  nmopval  28685  nmfnval  28705  nmop0  28815  nmfn0  28816  xrsupssd  29498  xrge0infssd  29500  infxrge0lb  29503  infxrge0glb  29504  infxrge0gelb  29505  xrsclat  29654  xrge0iifiso  29955  esumval  30082  esumnul  30084  esum0  30085  gsumesum  30095  esumsnf  30100  esumpcvgval  30114  esum2d  30129  omsfval  30330  omsf  30332  oms0  30333  omssubaddlem  30335  omssubadd  30336  mblfinlem2  33418  ovoliunnfl  33422  voliunnfl  33424  volsupnfl  33425  itg2addnclem  33432  radcnvrat  38333  infxrglb  39369  xrgtso  39374  infxr  39396  infxrunb2  39397  infxrpnf  39487  limsup0  39726  limsuppnfdlem  39733  limsupequzlem  39754  supcnvlimsup  39772  limsuplt2  39779  liminfval  39785  limsupge  39787  liminfgval  39788  liminfval2  39794  limsup10ex  39799  liminf10ex  39800  liminflelimsuplem  39801  etransclem48  40262  sge0val  40346  sge0z  40355  sge00  40356  sge0sn  40359  sge0tsms  40360  ovnval2  40522  smflimsuplem1  40789  smflimsuplem2  40790  smflimsuplem4  40792  smflimsuplem7  40795
  Copyright terms: Public domain W3C validator