Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrlttri5d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlttri5d 38990
Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttri5d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttri5d.aneb (𝜑𝐴𝐵)
xrlttri5d.nlt (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrlttri5d (𝜑𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrlttri5d
StepHypRef Expression
1 xrlttri5d.aneb . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
21neneqd 2795 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3 xrlttri5d.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttri5d.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttri3 11928 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
63, 4, 5syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
72, 6mtbid 314 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8 oran 517 . . . . 5 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ¬ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
97, 8sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴))
10 xrlttri5d.nlt . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
119, 10jca 554 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
12 pm5.61 748 . . 3 (((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1311, 12sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1413simpld 475 1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  *cxr 10025   < clt 10026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031
This theorem is referenced by:  lttri5d  39008
  Copyright terms: Public domain W3C validator