MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmineq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmineq 11970
Description: The minimum of two extended reals is equal to the second if the first is bigger. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrmineq ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem xrmineq
StepHypRef Expression
1 ifid 4103 . 2 if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
2 xrletri3 11945 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐵)))
32ancoms 469 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐵)))
43biimpar 502 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
54anassrs 679 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
65ifeq1da 4094 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐵) = if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵))
763impa 1256 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐵) = if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵))
81, 7syl5reqr 2670 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  ifcif 4064   class class class wbr 4623  *cxr 10033  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040
This theorem is referenced by:  ssfzunsn  12345  setsstruct  15838  ioondisj2  39160
  Copyright terms: Public domain W3C validator