MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnemnf 11895
Description: An extended real other than minus infinity is real or positive infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrnemnf ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem xrnemnf
StepHypRef Expression
1 pm5.61 748 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
2 elxr 11894 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3 df-3or 1037 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
42, 3bitri 264 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
5 df-ne 2797 . . 3 (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
64, 5anbi12i 732 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
7 renemnf 10033 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
8 pnfnemnf 10039 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
9 neeq1 2858 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
108, 9mpbiri 248 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
117, 10jaoi 394 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
1211neneqd 2801 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
1312pm4.71i 663 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
141, 6, 133bitr4i 292 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cr 9880  +∞cpnf 10016  -∞cmnf 10017  *cxr 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023
This theorem is referenced by:  xaddnemnf  12009  xaddass  12019  xlesubadd  12033  xrge0nre  12216  xblss2ps  22111  xblss2  22112  nmoix  22438  nmoleub  22440  blcvx  22504  xrge0tsms  22540  metdstri  22557  nmoleub2lem  22817  xrge0tsmsd  29562  esumcvgre  29926  icorempt2  32823  xrnmnfpnf  38727  xrred  39032
  Copyright terms: Public domain W3C validator