MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrnepnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnepnf 11896
Description: An extended real other than plus infinity is real or negative infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrnepnf ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem xrnepnf
StepHypRef Expression
1 pm5.61 748 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
2 elxr 11894 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3 df-3or 1037 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
4 or32 549 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞))
52, 3, 43bitri 286 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞))
6 df-ne 2797 . . 3 (𝐴 ≠ +∞ ↔ ¬ 𝐴 = +∞)
75, 6anbi12i 732 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
8 renepnf 10032 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
9 mnfnepnf 10040 . . . . . 6 -∞ ≠ +∞
10 neeq1 2858 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
119, 10mpbiri 248 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
128, 11jaoi 394 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
1312neneqd 2801 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
1413pm4.71i 663 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
151, 7, 143bitr4i 292 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cr 9880  +∞cpnf 10016  -∞cmnf 10017  *cxr 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-uni 4408  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023
This theorem is referenced by:  xaddnepnf  12010  xlt2addrd  29359  xrlexaddrp  39019
  Copyright terms: Public domain W3C validator