MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrnepnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnepnf 12145
Description: An extended real other than plus infinity is real or negative infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrnepnf ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem xrnepnf
StepHypRef Expression
1 pm5.61 751 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
2 elxr 12143 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3 df-3or 1073 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
4 or32 550 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞))
52, 3, 43bitri 286 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞))
6 df-ne 2933 . . 3 (𝐴 ≠ +∞ ↔ ¬ 𝐴 = +∞)
75, 6anbi12i 735 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
8 renepnf 10279 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
9 mnfnepnf 10287 . . . . . 6 -∞ ≠ +∞
10 neeq1 2994 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
119, 10mpbiri 248 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
128, 11jaoi 393 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
1312neneqd 2937 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
1413pm4.71i 667 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
151, 7, 143bitr4i 292 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cr 10127  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  *cxr 10265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-uni 4589  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270
This theorem is referenced by:  xaddnepnf  12261  xlt2addrd  29832  xrlexaddrp  40066  xrnpnfmnf  40203
  Copyright terms: Public domain W3C validator