Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrpxdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrpxdivcld 29617
 Description: Closure law for extended division of positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
xrpxdivcld.1 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrpxdivcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
xrpxdivcld (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrpxdivcld
StepHypRef Expression
1 oveq1 6642 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (0 /𝑒 𝐵))
2 xrpxdivcld.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 xdiv0rp 29612 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 /𝑒 𝐵) = 0)
51, 4sylan9eqr 2676 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = 0)
6 elxrge02 29614 . . . . 5 ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞))
76biimpri 218 . . . 4 (((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ ∨ (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
873o1cs 29279 . . 3 ((𝐴 /𝑒 𝐵) = 0 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
95, 8syl 17 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
10 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
112adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1210, 11rpxdivcld 29616 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+)
1373o2cs 29280 . . 3 ((𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
15 oveq1 6642 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (+∞ /𝑒 𝐵))
16 xdivpnfrp 29615 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
172, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (+∞ /𝑒 𝐵) = +∞)
1815, 17sylan9eqr 2676 . . 3 ((𝜑𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞)
1973o3cs 29281 . . 3 ((𝐴 /𝑒 𝐵) = +∞ → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2018, 19syl 17 . 2 ((𝜑𝐴 = +∞) → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21 xrpxdivcld.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22 elxrge02 29614 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+𝐴 = +∞))
2321, 22sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ∈ ℝ+𝐴 = +∞))
249, 14, 20, 23mpjao3dan 1393 1 (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  (class class class)co 6635  0cc0 9921  +∞cpnf 10056  ℝ+crp 11817  [,]cicc 12163   /𝑒 cxdiv 29599 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-xdiv 29600 This theorem is referenced by:  measdivcstOLD  30261  measdivcst  30262
 Copyright terms: Public domain W3C validator