MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre 11943
Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrre (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 simprl 793 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → -∞ < 𝐴)
2 ltpnf 11898 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
32adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
4 rexr 10029 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10036 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
6 xrlelttr 11931 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
75, 6mp3an3 1410 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
84, 7sylan2 491 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
93, 8mpan2d 709 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 < +∞))
109imp 445 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 < +∞)
1110adantrl 751 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 < +∞)
12 xrrebnd 11942 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1312ad2antrr 761 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
141, 11, 13mpbir2and 956 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4613  cr 9879  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by:  xrrege0  11948  supxrre  12100  infxrre  12109  caucvgrlem  14337  pcgcd1  15505  tgioo  22507  ovolunlem1a  23171  ovoliunlem1  23177  ioombl1lem2  23234  itg2monolem2  23424  dvferm1lem  23651  radcnvle  24078  psercnlem1  24083  nmobndi  27476  ubthlem3  27574  nmophmi  28736  bdophsi  28801  bdopcoi  28803  orvclteel  30312  itg2addnclem  33090  itg2gt0cn  33094  areacirclem5  33133  eliocre  39142  fourierdlem87  39714  sge0ssre  39918
  Copyright terms: Public domain W3C validator