MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre3 11987
Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrre3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre3
StepHypRef Expression
1 mnflt 11942 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
21adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
3 mnfxr 10081 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
5 rexr 10070 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 xrltletr 11973 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝐴) → -∞ < 𝐴))
94, 6, 7, 8syl3anc 1324 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝐴) → -∞ < 𝐴))
102, 9mpand 710 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → -∞ < 𝐴))
1110imp 445 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → -∞ < 𝐴)
1211adantrr 752 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → -∞ < 𝐴)
13 simprr 795 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → 𝐴 < +∞)
14 xrrebnd 11984 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1514ad2antrr 761 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1612, 13, 15mpbir2and 956 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1988   class class class wbr 4644  cr 9920  +∞cpnf 10056  -∞cmnf 10057  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065
This theorem is referenced by:  elicore  12211  sibfinima  30375  orvcgteel  30503  ismblfin  33421
  Copyright terms: Public domain W3C validator