Theorem xrrest 22811

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrrest.1	⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )
xrrest.2	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
xrrest	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑋 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem xrrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrrest.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
2		xrrest.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )
3	2	oveq1i 6823	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
4	3	xrtgioo 22810	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝑋 ↾t ℝ)
5	1, 4	eqtri 2782	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑋 ↾t ℝ)
6	5	oveq1i 6823	. 2 ⊢ (𝑅 ↾t 𝐴) = ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴)
7		fvex 6362	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ V
8	2, 7	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
9		reex 10219	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
10		restabs 21171	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))
11	8, 9, 10	mp3an13 1564	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))
12	6, 11	syl5req 2807	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑋 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ran crn 5267  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127   ≤ cle 10267  (,)cioo 12368   ↾_t crest 16283  topGenctg 16300  ordTopcordt 16361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-ordt 16363  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952

This theorem is referenced by:  xrrest2  22812  dfii5  22889