Theorem xrrest 22518

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrrest.1	⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )
xrrest.2	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
xrrest	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑋 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem xrrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrrest.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
2		xrrest.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )
3	2	oveq1i 6614	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
4	3	xrtgioo 22517	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝑋 ↾t ℝ)
5	1, 4	eqtri 2643	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑋 ↾t ℝ)
6	5	oveq1i 6614	. 2 ⊢ (𝑅 ↾t 𝐴) = ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴)
7		fvex 6158	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ V
8	2, 7	eqeltri 2694	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
9		reex 9971	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
10		restabs 20879	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))
11	8, 9, 10	mp3an13 1412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))
12	6, 11	syl5req 2668	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑋 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ran crn 5075  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879   ≤ cle 10019  (,)cioo 12117   ↾_t crest 16002  topGenctg 16019  ordTopcordt 16080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-ordt 16082  df-ps 17121  df-tsr 17122  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623

This theorem is referenced by:  xrrest2  22519  dfii5  22596