Theorem xrrest2 23419

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrrest2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
xrrest2.2	⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )

Assertion

Ref	Expression
xrrest2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem xrrest2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrrest2.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		eqid 2824	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3	1, 2	rerest 23415	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
4		xrrest2.2	. . 3 ⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )
5	4, 2	xrrest 23418	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑋 ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
6	3, 5	eqtr4d 2862	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ⊆ wss 3939  ran crn 5559  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℝcr 10539   ≤ cle 10679  (,)cioo 12741   ↾_t crest 16697  TopOpenctopn 16698  topGenctg 16714  ordTopcordt 16775  ℂ_fldccnfld 20548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-rest 16699  df-topn 16700  df-topgen 16720  df-ordt 16777  df-ps 17813  df-tsr 17814  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-xms 22933  df-ms 22934

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  23550  xrhmeo  23553  lmlimxrge0  31195