Theorem xrsex 20554

Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsex	⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Proof of Theorem xrsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xrs 16769	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
2		tpex 7464	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∈ V
3		tpex 7464	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩} ∈ V
4	2, 3	unex 7463	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2909	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ∪ cun 3934  ifcif 4467  {ctp 4565  ⟨cop 4567   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670  -_𝑒cxne 12498   +_𝑒 cxad 12499   ·_e cxmu 12500  ndxcnx 16474  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  ._rcmulr 16560  TopSetcts 16565  lecple 16566  distcds 16568  ordTopcordt 16766  ℝ^*_𝑠cxrs 16767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rex 3144  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-nul 4292  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-uni 4833  df-xrs 16769

This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  22977  xrslt  30658  xrsmulgzz  30660  xrstos  30661  xrsp0  30663  xrsp1  30664  pnfinf  30807  xrnarchi  30808