MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmcmn 19534
Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrsmgmdifsgrp 19548.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsmcmn (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . 5 (mulGrp‘ℝ*𝑠) = (mulGrp‘ℝ*𝑠)
2 xrsbas 19527 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
31, 2mgpbas 18264 . . . 4 * = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
43a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
5 xrsmul 19529 . . . . 5 ·e = (.r‘ℝ*𝑠)
61, 5mgpplusg 18262 . . . 4 ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
76a1i 11 . . 3 (⊤ → ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
8 xmulcl 11932 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
983adant1 1071 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
10 xmulass 11946 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
1110adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
12 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
13 rexr 9941 . . . . 5 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
1412, 13mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
15 xmulid2 11939 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
1615adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
17 xmulid1 11938 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
1817adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
194, 7, 9, 11, 14, 16, 18ismndd 17082 . . 3 (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ Mnd)
20 xmulcom 11925 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
21203adant1 1071 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
224, 7, 19, 21iscmnd 17974 . 2 (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd)
2322trud 1483 1 (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1030   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793  *cxr 9929   ·e cxmu 11777  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  *𝑠cxrs 15929  CMndccmn 17962  mulGrpcmgp 18258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-xneg 11778  df-xmul 11780  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-xrs 15931  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-cmn 17964  df-mgp 18259
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator