Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsmulgzz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmulgzz 29806
Description: The "multiple" function in the extended real numbers structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrsmulgzz ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrsmulgzz
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
2 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑛 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
31, 2eqeq12d 2666 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0 ·e 𝐵)))
4 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
5 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵))
64, 5eqeq12d 2666 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)))
7 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
8 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ·e 𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
97, 8eqeq12d 2666 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵)))
10 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 ·e 𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
1210, 11eqeq12d 2666 . . 3 (𝑛 = -𝑚 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵)))
13 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = 𝐴 → (𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
14 oveq1 6697 . . . 4 (𝑛 = 𝐴 → (𝑛 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
1513, 14eqeq12d 2666 . . 3 (𝑛 = 𝐴 → ((𝑛(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑛 ·e 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵)))
16 xrsbas 19810 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
17 xrs0 29803 . . . . 5 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
18 eqid 2651 . . . . 5 (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
1916, 17, 18mulg0 17593 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
20 xmul02 12136 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
2119, 20eqtr4d 2688 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0 ·e 𝐵))
22 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵))
2322oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
24 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
25 simpll 805 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26 xrsadd 19811 . . . . . . . . 9 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
2716, 18, 26mulgnnp1 17596 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
2824, 25, 27syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
29 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
30 simpll 805 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 xaddid2 12111 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
3231adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 +𝑒 𝐵) = 𝐵)
33 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑚 = 0)
3433oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
3519adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
3634, 35eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 0)
3736oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
3833oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚 + 1) = (0 + 1))
39 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
4038, 39syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚 + 1) = 1)
4140oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
4216, 18mulg1 17595 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
4342adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (1(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
4441, 43eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = 𝐵)
4532, 37, 443eqtr4rd 2696 . . . . . . . 8 ((𝑚 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
4629, 30, 45syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 0) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
47 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
48 elnn0 11332 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
4947, 48sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
5028, 46, 49mpjaodan 844 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
5150adantr 480 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) +𝑒 𝐵))
52 nn0ssre 11334 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ
53 ressxr 10121 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
5452, 53sstri 3645 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℝ*
5547adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
5654, 55sseldi 3634 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℝ*)
57 nn0ge0 11356 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
5857ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 0 ≤ 𝑚)
59 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
6059rexri 10135 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
6160a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 1 ∈ ℝ*)
62 0le1 10589 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
6362a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 0 ≤ 1)
64 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65 xadddi2r 12166 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑚) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)))
6656, 58, 61, 63, 64, 65syl221anc 1377 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)))
6752, 55sseldi 3634 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℝ)
6859a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
69 rexadd 12101 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 +𝑒 1) = (𝑚 + 1))
7067, 68, 69syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (𝑚 +𝑒 1) = (𝑚 + 1))
7170oveq1d 6705 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 +𝑒 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
72 xmulid2 12148 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
7364, 72syl 17 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
7473oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 (1 ·e 𝐵)) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
7566, 71, 743eqtr3d 2693 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1) ·e 𝐵) = ((𝑚 ·e 𝐵) +𝑒 𝐵))
7623, 51, 753eqtr4d 2695 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))
7776exp31 629 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → ((𝑚 + 1)(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((𝑚 + 1) ·e 𝐵))))
78 xnegeq 12076 . . . . . 6 ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
7978adantl 481 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
80 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
8116, 18, 80mulgnegnn 17598 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)))
8281ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)))
83 xrsex 19809 . . . . . . . . . . . 12 *𝑠 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ℝ*𝑠 ∈ V)
85 ssid 3657 . . . . . . . . . . . 12 * ⊆ ℝ*
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ℝ* ⊆ ℝ*)
87 simp2 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
88 simp3 1083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
8987, 88xaddcld 12169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
9016, 18, 26, 84, 86, 89mulgnnsubcl 17600 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
91903anidm12 1423 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
9291ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ*)
93 xrsinvgval 29805 . . . . . . . 8 ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) ∈ ℝ* → ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
9492, 93syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → ((invg‘ℝ*𝑠)‘(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵)) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
9582, 94eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
9695adantr 480 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = -𝑒(𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
97 nnre 11065 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
9897adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
99 rexneg 12080 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℝ → -𝑒𝑚 = -𝑚)
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → -𝑒𝑚 = -𝑚)
101100oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
102 nnssre 11062 . . . . . . . . . 10 ℕ ⊆ ℝ
103102, 53sstri 3645 . . . . . . . . 9 ℕ ⊆ ℝ*
104 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
105103, 104sseldi 3634 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ*)
106 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
107 xmulneg1 12137 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
108105, 106, 107syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑒𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
109101, 108eqtr3d 2687 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) → (-𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
110109adantr 480 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚 ·e 𝐵) = -𝑒(𝑚 ·e 𝐵))
11179, 96, 1103eqtr4d 2695 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵)) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))
112111exp31 629 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝑚 ·e 𝐵) → (-𝑚(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (-𝑚 ·e 𝐵))))
1133, 6, 9, 12, 15, 21, 77, 112zindd 11516 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵)))
114113impcom 445 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111  cle 10113  -cneg 10305  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  -𝑒cxne 11981   +𝑒 cxad 11982   ·e cxmu 11983  *𝑠cxrs 16207  invgcminusg 17470  .gcmg 17587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-0g 16149  df-xrs 16209  df-minusg 17473  df-mulg 17588
This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  29817  pnfinf  29865
  Copyright terms: Public domain W3C validator