MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrub 11972
Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem xrub
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4580 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝐵𝑧 < 𝐵))
2 breq1 4580 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
32rexbidv 3033 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
41, 3imbi12d 332 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
54cbvralv 3146 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
6 elxr 11787 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
7 pm2.27 40 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9 pnfnlt 11801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
10 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
1110notbid 306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
129, 11syl5ibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < 𝐵))
13 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 < 𝐵 → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
1412, 13syl6com 36 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
1514ad2antlr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
1615a1dd 47 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
17 elxr 11787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
18 peano2rem 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
19 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) < 𝐵))
20 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐵 − 1) < 𝑦))
2120rexbidv 3033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2219, 21imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝐵 − 1) → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2322rspcv 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2524adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
26 ltm1 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2826, 27syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2928adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
3018ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
31 mnflt 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝐵 − 1))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -∞ < (𝐵 − 1))
33 rexr 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
35 ssel2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3635adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37 mnfxr 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
38 xrlttr 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
3937, 38mp3an1 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 − 1) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
4034, 36, 39syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
4132, 40mpand 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
4241reximdva 2999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
4325, 29, 423syld 57 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
4443a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
45 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
46 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
47 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 1 < 𝑦))
4847rexbidv 3033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
4946, 48imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 1 → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦)))
5049rspcv 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦)))
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
52 ltpnf 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
54 breq2 4581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
5553, 54mpbiri 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
5755, 56syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = +∞ → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
58 mnflt 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
5945, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ < 1
60 rexr 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
6145, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
62 xrlttr 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
6337, 61, 62mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ* → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
6459, 63mpani 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ* → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
6535, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
6665reximdva 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑦𝐴 1 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6757, 66sylan9r 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6851, 67syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6968a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
70 xrltnr 11792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
7137, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ -∞ < -∞
72 breq2 4581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
7371, 72mtbiri 315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐵)
7473adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → ¬ -∞ < 𝐵)
7574pm2.21d 116 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7744, 69, 763jaodan 1385 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7817, 77sylan2b 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7978imp 443 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
80 breq1 4580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
81 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
8281rexbidv 3033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
8380, 82imbi12d 332 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
8479, 83syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
8584a1dd 47 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
868, 16, 853jaod 1383 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
876, 86syl5bi 230 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
8887com23 83 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
8988ralimdv2 2943 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
9089ex 448 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
915, 90syl5bi 230 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9291pm2.43d 50 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
93 rexr 9941 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
9493imim1i 60 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
9594ralimi2 2932 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
9692, 95impbid1 213 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3o 1029   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  wss 3539   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  cr 9791  1c1 9793  +∞cpnf 9927  -∞cmnf 9928  *cxr 9929   < clt 9930  cmin 10117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120
This theorem is referenced by:  supxr  11973
  Copyright terms: Public domain W3C validator