Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Wrap > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  young2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem young2d 41854
 Description: Young's inequality for 𝑛 = 2, a direct application of amgmw2d 41853. (Contributed by Kunhao Zheng, 6-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
young2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
young2d.1 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
young2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
young2d.3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
young2d.4 (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
Assertion
Ref Expression
young2d (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))

Proof of Theorem young2d
StepHypRef Expression
1 young2d.0 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 young2d.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
32rpred 11816 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
41, 3rpcxpcld 24376 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
52rpreccld 11826 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℝ+)
6 young2d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
7 young2d.3 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
87rpred 11816 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
96, 8rpcxpcld 24376 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
107rpreccld 11826 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℝ+)
11 young2d.4 . . 3 (𝜑 → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1)
124, 5, 9, 10, 11amgmw2d 41853 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
132rpcnd 11818 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
142rpne0d 11821 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1513, 14recidd 10740 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
1615oveq2d 6620 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = (𝐴𝑐1))
1713, 14reccld 10738 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
181, 3, 17cxpmuld 24380 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐(𝑃 · (1 / 𝑃))) = ((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)))
191rpcnd 11818 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2019cxp1d 24352 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
2116, 18, 203eqtr3d 2663 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) = 𝐴)
227rpcnd 11818 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
237rpne0d 11821 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ≠ 0)
2422, 23recidd 10740 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
2524oveq2d 6620 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝐵𝑐1))
2622, 23reccld 10738 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
276, 8, 26cxpmuld 24380 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑄 · (1 / 𝑄))) = ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)))
286rpcnd 11818 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2928cxp1d 24352 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐1) = 𝐵)
3025, 27, 293eqtr3d 2663 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄)) = 𝐵)
3121, 30oveq12d 6622 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃)↑𝑐(1 / 𝑃)) · ((𝐵𝑐𝑄)↑𝑐(1 / 𝑄))) = (𝐴 · 𝐵))
324rpcnd 11818 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ)
3332, 13, 14divrecd 10748 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) = ((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)))
349rpcnd 11818 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ)
3534, 22, 23divrecd 10748 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄) = ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄)))
3633, 35oveq12d 6622 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)) = (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))))
3736eqcomd 2627 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑐𝑃) · (1 / 𝑃)) + ((𝐵𝑐𝑄) · (1 / 𝑄))) = (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))
3812, 31, 373brtr3d 4644 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≤ (((𝐴𝑐𝑃) / 𝑃) + ((𝐵𝑐𝑄) / 𝑄)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   ≤ cle 10019   / cdiv 10628  ℝ+crp 11776  ↑𝑐ccxp 24206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-refld 19870  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-cxp 24208 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator