MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcl 12011
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 11988 . 2 (𝑀 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦))
2 elz2 11988 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤))
3 reeanv 3368 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)))
4 reeanv 3368 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)))
5 nnaddcl 11649 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
7 nnaddcl 11649 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
87adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
9 nncn 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 nncn 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
119, 10anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12 nncn 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 nncn 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
1412, 13anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))
15 addsub4 10918 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
1611, 14, 15syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
1716eqcomd 2827 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)))
18 rspceov 7192 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ ∧ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤))) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
196, 8, 17, 18syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
20 elz2 11988 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
2119, 20sylibr 235 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ)
22 oveq12 7154 . . . . . . . 8 ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
2322eleq1d 2897 . . . . . . 7 ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ))
2421, 23syl5ibrcom 248 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
2524rexlimdvva 3294 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
264, 25syl5bir 244 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
2726rexlimivv 3292 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
283, 27sylbir 236 . 2 ((∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
291, 2, 28syl2anb 597 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3139  (class class class)co 7145  cc 10524   + caddc 10529  cmin 10859  cn 11627  cz 11970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971
This theorem is referenced by:  peano2z  12012  zsubcl  12013  zrevaddcl  12016  zdivadd  12042  zaddcld  12080  eluzaddi  12260  eluzsubi  12261  nn0pzuz  12294  fzen  12914  fzaddel  12931  fzadd2  12932  fzrev3  12963  fzrevral3  12984  elfzmlbp  13008  fzoun  13064  fzoaddel  13080  zpnn0elfzo  13100  elfzomelpfzo  13131  fzoshftral  13144  modsumfzodifsn  13302  ccatsymb  13926  ccatval21sw  13929  lswccatn0lsw  13935  swrdccatin2  14081  revccat  14118  2cshw  14165  cshweqrep  14173  2cshwcshw  14177  cshwcsh2id  14180  cshco  14188  climshftlem  14921  isershft  15010  iseraltlem2  15029  fsumzcl  15082  zrisefaccl  15364  summodnegmod  15630  dvds2ln  15632  dvds2add  15633  dvdsadd  15642  dvdsadd2b  15646  addmodlteqALT  15665  3dvdsdec  15671  3dvds2dec  15672  opoe  15702  opeo  15704  divalglem2  15736  ndvdsadd  15751  gcdaddmlem  15862  pythagtriplem9  16151  difsqpwdvds  16213  gzaddcl  16263  mod2xnegi  16397  cshwshashlem2  16420  cycsubgcl  18289  efgredleme  18800  zaddablx  18923  pgpfac1lem2  19128  zsubrg  20528  zringmulg  20555  expghm  20573  mulgghm2  20574  cygznlem3  20646  iaa  24843  dchrisumlem1  25993  axlowdimlem16  26671  crctcshwlkn0lem4  27519  crctcshwlkn0  27527  clwwlkccatlem  27695  clwwisshclwwslemlem  27719  ballotlemsima  31673  mzpclall  39204  mzpindd  39223  rmxyadd  39398  jm2.18  39465  inductionexd  40385  dvdsn1add  42104  stoweidlem34  42200  fourierswlem  42396  2elfz2melfz  43399  opoeALTV  43695  opeoALTV  43696  even3prm2  43731  mogoldbblem  43732  gbowgt5  43774  gboge9  43776  sbgoldbst  43790  2zrngamgm  44108
  Copyright terms: Public domain W3C validator