MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcl 11250
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 11227 . 2 (𝑀 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦))
2 elz2 11227 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤))
3 reeanv 3085 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)))
4 reeanv 3085 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)))
5 nnaddcl 10889 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
65adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
7 nnaddcl 10889 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
87adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
9 nncn 10875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 nncn 10875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
119, 10anim12i 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12 nncn 10875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 nncn 10875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
1412, 13anim12i 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))
15 addsub4 10175 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
1611, 14, 15syl2an 492 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
1716eqcomd 2615 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)))
18 rspceov 6568 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ ∧ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤))) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
196, 8, 17, 18syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
20 elz2 11227 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
2119, 20sylibr 222 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ)
22 oveq12 6536 . . . . . . . 8 ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
2322eleq1d 2671 . . . . . . 7 ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ))
2421, 23syl5ibrcom 235 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
2524rexlimdvva 3019 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
264, 25syl5bir 231 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
2726rexlimivv 3017 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
283, 27sylbir 223 . 2 ((∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
291, 2, 28syl2anb 494 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795  cmin 10117  cn 10867  cz 11210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211
This theorem is referenced by:  peano2z  11251  zsubcl  11252  zrevaddcl  11255  zdivadd  11280  zaddcld  11318  eluzaddi  11546  eluzsubi  11547  nn0pzuz  11577  fzen  12184  fzaddel  12201  fzadd2  12202  fzrev3  12231  fzrevral3  12251  elfzmlbp  12274  fzoaddel  12343  zpnn0elfzo  12362  elfzomelpfzo  12393  fzoshftral  12402  modsumfzodifsn  12560  ccatsymb  13165  swrdccatin2  13284  revccat  13312  2cshw  13356  cshweqrep  13364  2cshwcshw  13368  cshwcsh2id  13371  cshco  13379  climshftlem  14099  isershft  14188  iseraltlem2  14207  fsumzcl  14259  zrisefaccl  14536  summodnegmod  14796  dvds2ln  14798  dvds2add  14799  dvdsadd  14808  dvdsadd2b  14812  addmodlteqALT  14831  3dvdsdec  14838  3dvdsdecOLD  14839  3dvds2dec  14840  3dvds2decOLD  14841  opoe  14871  opeo  14873  divalglem2  14902  ndvdsadd  14918  gcdaddmlem  15029  pythagtriplem9  15313  difsqpwdvds  15375  gzaddcl  15425  mod2xnegi  15559  cshwshashlem2  15587  cycsubgcl  17389  efgredleme  17925  zaddablx  18044  pgpfac1lem2  18243  zsubrg  19564  zringmulg  19591  expghm  19608  mulgghm2  19609  cygznlem3  19682  iaa  23801  dchrisumlem1  24895  axlowdimlem16  25555  clwwisshclwwlem1  26099  ballotlemsima  29710  mzpclall  36104  mzpindd  36123  rmxyadd  36300  jm2.18  36369  inductionexd  37269  dvdsn1add  38626  stoweidlem34  38724  fourierswlem  38920  opoeALTV  39930  opeoALTV  39931  gbogt5  39982  gboage9  39984  bgoldbst  39998  2elfz2melfz  40175  crctcsh1wlkn0lem4  41011  crctcsh1wlkn0  41019  clwwisshclwwslemlem  41228  2zrngamgm  41724
  Copyright terms: Public domain W3C validator