Theorem zaddcld 11698

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 11629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 696	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6814   + caddc 10151  ℤcz 11589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590

This theorem is referenced by:  zadd2cl  11702  qaddcl  12017  elincfzoext  12740  eluzgtdifelfzo  12744  fladdz  12840  seqshft2  13041  expaddzlem  13117  sqoddm1div8  13242  ccatass  13580  lswccatn0lsw  13583  cshf1  13776  2cshw  13779  2cshwcshw  13791  fsumrev2  14733  isumshft  14790  divcnvshft  14806  dvds2ln  15236  sadadd3  15405  sadaddlem  15410  sadadd  15411  bezoutlem4  15481  lcmgcdlem  15541  divgcdcoprm0  15601  hashdvds  15702  pythagtriplem4  15746  pythagtriplem11  15752  pcaddlem  15814  gzmulcl  15864  4sqlem8  15871  4sqlem10  15873  4sqlem11  15881  4sqlem14  15884  4sqlem16  15886  prmgaplem7  15983  prmgaplem8  15984  gsumccat  17599  mulgdir  17794  mndodconglem  18180  chfacfscmulfsupp  20886  chfacfpmmulfsupp  20890  ulmshftlem  24362  ulmshft  24363  dchrptlem2  25210  lgsqrlem2  25292  lgsquad2lem1  25329  2lgsoddprmlem2  25354  2sqlem4  25366  2sqlem8  25371  crctcshwlkn0lem5  26938  numclwlk2lem2f  27559  numclwlk2lem2fOLD  27566  ex-ind-dvds  27650  2sqmod  29978  archirngz  30073  archiabllem2c  30079  qqhghm  30362  qqhrhm  30363  fsum2dsub  31015  breprexplemc  31040  divcnvlin  31946  caushft  33888  pell1234qrmulcl  37939  jm2.18  38075  jm2.19lem3  38078  jm2.19lem4  38079  jm2.25  38086  inductionexd  38973  fzisoeu  40031  uzubioo  40315  wallispilem4  40806  etransclem44  41016  gbowgt5  42178  mogoldbb  42201  nnsum4primesevenALTV  42217  2zlidl  42462