MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcld 12079
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zaddcld (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zaddcl 12010 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145   + caddc 10528  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  zadd2cl  12083  qaddcl  12352  elincfzoext  13083  eluzgtdifelfzo  13087  fladdz  13183  seqshft2  13384  expaddzlem  13460  sqoddm1div8  13592  ccatass  13930  cshf1  14160  2cshw  14163  2cshwcshw  14175  fsumrev2  15125  isumshft  15182  divcnvshft  15198  dvds2ln  15630  sadadd3  15798  sadaddlem  15803  sadadd  15804  bezoutlem4  15878  lcmgcdlem  15938  divgcdcoprm0  15997  hashdvds  16100  pythagtriplem4  16144  pythagtriplem11  16150  pcaddlem  16212  gzmulcl  16262  4sqlem8  16269  4sqlem10  16271  4sqlem11  16279  4sqlem14  16282  4sqlem16  16284  prmgaplem7  16381  prmgaplem8  16382  gsumsgrpccat  17992  gsumccatOLD  17993  mulgdir  18197  mndodconglem  18598  chfacfscmulfsupp  21395  chfacfpmmulfsupp  21399  ulmshftlem  24904  ulmshft  24905  dchrptlem2  25768  lgsqrlem2  25850  lgsquad2lem1  25887  2lgsoddprmlem2  25912  2sqlem4  25924  2sqlem8  25929  2sqmod  25939  crctcshwlkn0lem5  27519  numclwlk2lem2f  28083  ex-ind-dvds  28167  cshwrnid  30562  archirngz  30745  archiabllem2c  30751  qqhghm  31128  qqhrhm  31129  fsum2dsub  31777  breprexplemc  31802  divcnvlin  32861  caushft  34917  pell1234qrmulcl  39330  jm2.18  39463  jm2.19lem3  39466  jm2.19lem4  39467  jm2.25  39474  inductionexd  40383  fzisoeu  41443  uzubioo  41719  wallispilem4  42230  etransclem44  42440  gbowgt5  43804  mogoldbb  43827  nnsum4primesevenALTV  43843  2zlidl  44133
  Copyright terms: Public domain W3C validator