Theorem zaddcld 11362

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 11294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   + caddc 9818  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255

This theorem is referenced by:  zadd2cl  11366  qaddcl  11680  elincfzoext  12393  eluzgtdifelfzo  12397  fladdz  12488  seqshft2  12689  expaddzlem  12765  sqoddm1div8  12890  ccatass  13224  lswccatn0lsw  13226  cshf1  13407  2cshw  13410  2cshwcshw  13422  fsumrev2  14356  isumshft  14410  divcnvshft  14426  dvds2ln  14852  sadadd3  15021  sadaddlem  15026  sadadd  15027  bezoutlem4  15097  lcmgcdlem  15157  divgcdcoprm0  15217  hashdvds  15318  pythagtriplem4  15362  pythagtriplem11  15368  pcaddlem  15430  gzmulcl  15480  4sqlem8  15487  4sqlem10  15489  4sqlem11  15497  4sqlem14  15500  4sqlem16  15502  prmgaplem7  15599  prmgaplem8  15600  gsumccat  17201  mulgdir  17396  mndodconglem  17783  chfacfscmulfsupp  20483  chfacfpmmulfsupp  20487  ulmshftlem  23947  ulmshft  23948  dchrptlem2  24790  lgsqrlem2  24872  lgsquad2lem1  24909  2lgsoddprmlem2  24934  2sqlem4  24946  2sqlem8  24951  numclwlk2lem2f  26630  ex-ind-dvds  26710  2sqmod  28979  archirngz  29074  archiabllem2c  29080  qqhghm  29360  qqhrhm  29361  divcnvlin  30871  caushft  32727  pell1234qrmulcl  36437  jm2.18  36573  jm2.19lem3  36576  jm2.19lem4  36577  jm2.25  36584  inductionexd  37473  fzisoeu  38455  wallispilem4  38961  etransclem44  39171  gbogt5  40184  nnsum4primesevenALTV  40217  crctcsh1wlkn0lem5  41017  av-extwwlkfablem2  41510  av-numclwlk2lem2f  41533  2zlidl  41724