MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zbtwnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zbtwnre 11746
Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zbtwnre (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem zbtwnre
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmin 11744 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
2 zre 11341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3 zre 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4 peano2rem 10308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6 ltletr 10089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
75, 6syl3an1 1356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
873expa 1262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
92, 8sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
10 zlem1lt 11389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
1110adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
129, 11sylibrd 249 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → 𝑥𝑦))
1312exp4b 631 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
1413com23 86 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ → (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
1514ralrimdv 2964 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
165ltnrd 10131 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1))
17 peano2zm 11380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
18 zlem1lt 11389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
1917, 18mpdan 701 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
2016, 19mtbird 315 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
2120ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
22 lenlt 10076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
235, 22sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
2423ancoms 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
26 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝐴𝑦𝐴 ≤ (𝑥 − 1)))
27 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
2826, 27imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
2928rspcv 3295 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
3130imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3231adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3325, 32sylbird 250 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (¬ (𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3421, 33mt3d 140 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝑥 − 1) < 𝐴)
3534ex 450 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝐴))
3615, 35impbid 202 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
37 1re 9999 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 ltsubadd 10458 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
3937, 38mp3an2 1409 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
403, 39sylan 488 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
4136, 40bitr3d 270 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
4241ancoms 469 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
4342anbi2d 739 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1))))
4443reubidva 3118 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1))))
451, 44mpbid 222 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  ∃!wreu 2910   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cr 9895  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  cz 11337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648
This theorem is referenced by:  rebtwnz  11747  qbtwnre  11989  dfceil2  12596
  Copyright terms: Public domain W3C validator